Calcule a soma: 2 sen(2 pi t-pi4)+2 sen(2 pi t-3 pi4).
A amplitude e fase do cosseno resultante é:

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que calcular a soma de duas funções seno:
2 sin(2 pi t - pi4) + 2 sin(2 pi t - 3 pi4)
E a ideia é descobrir qual é a amplitude e a fase do cosseno que resulta dessa soma. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas fórmulas de somatório de senos e entender como manipular amplitudes e fases em funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma fórmula que ajuda a somar dois senos com a mesma frequência. A fórmula é a seguinte:
sin A + sin B = 2 sin(A + B2) cos(A - B2)
Isso significa que podemos transformar a soma de dois senos em um produto de um seno e um cosseno, o que facilita para encontrar a amplitude e a fase resultantes.

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula aos nossos termos. Aqui, A = 2 pi t - pi4 e B = 2 pi t - 3 pi4 .
Primeiro, calculamos A + B2 :
A + B2 = (2 pi t - pi4) + (2 pi t - 3 pi4)2 = 4 pi t - pi2 = 2 pi t - pi2
Depois, calculamos A - B2 :
A - B2 = (2 pi t - pi4) - (2 pi t - 3 pi4)2 = 2 pi t - pi4 - 2 pi t + 3 pi42 = pi22 = pi4

Passo 4

Agora, substituímos esses valores na fórmula:
2 sin(2 pi t - pi4) + 2 sin(2 pi t - 3 pi4) = 2 times 2 sin(2 pi t - pi2) cos(pi4)
Simplificando:
= 4 sin(2 pi t - pi2) cos(pi4)

Passo 5

Sabemos que cos(pi4) = raiz22 , então substituímos:
= 4 sin(2 pi t - pi2) times raiz22 = 2 raiz2 sin(2 pi t - pi2)

Passo 6

Agora, queremos expressar essa função seno como um cosseno. Sabemos que:
sin(x - pi2) = - cos x
Portanto:
2 raiz2 sin(2 pi t - pi2) = -2 raiz2 cos(2 pi t)

Resposta

A amplitude do cosseno resultante é 2 raiz2 e a fase é 0 . Assim, a função resultante é:
-2 raiz2 cos(2 pi t)

Exercícios relacionados