Calcul a potêncía do numero complexo (raiz[3]35+j 35)^21

Passo 1

O enunciado pede para calcular a potência
l(raiz[3]35 + j,35r)^21
O conteúdo aqui é a fórmula de De Moivre, que diz que, se z = r(costheta + jsintheta), então
z^n = r^nl(cos(ntheta) + jsin(ntheta)r)
Vamos, portanto, (1) colocar o número na forma polar r,e^jtheta e (2) aplicar De Moivre.

Passo 2

Calcular o módulo r e o argumento theta de
z = raiz[3]35 + j,35
O módulo é
r = raizl(raiz[3]35r)^2 + l(35r)^2 = raizraiz[3]9 + 95,
e o argumento theta satisfaz
tantheta = Im zRe z = tfrac35tfracraiz[3]35 = 3raiz[3]3 = 3^2/3,
ou seja
theta = arctanl(3^2/3r)

Passo 3

Escrever z na forma polar:
z = rl(costheta + jsinthetar) = raizraiz[3]9 + 95 l(cos!l(arctan(3^2/3)r) + j,sin!l(arctan(3^2/3)r)r)

Passo 4

Aplicar a fórmula de De Moivre para n=21:
z^21 = r^21l(cos(21theta) + jsin(21theta)r)
Já temos
r^21 = l(raizraiz[3]9 + 95r)^21, theta = arctanl(3^2/3r)

Passo 5

Substituindo tudo, a potência fica
l(raiz[3]35 + j,35r)^21 = l(tfracraizraiz[3]9 + 95r)^21 l[cosl(21,arctan(3^2/3)r) + j,sinl(21,arctan(3^2/3)r)r]

Resposta

boxed l(raiz[3]35 + j,35r)^21 = l(tfracraizraiz[3]9 + 95r)^21 l[cosl(21,arctan(3^2/3)r) + j,sinl(21,arctan(3^2/3)r)r]

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