Conhecendo que
f(x)=x(x+2)^3, f^prime(x)=(x+2)^2(4 x+2) e f^prime prime(x)=12(x+1)(x+2)
pede-se que determine:
o domínio, interseções com os eixos coordenados e assíntotas verticais/horizontais (caso existam);

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x(x+2)^3,
já com as derivadas
f'(x)=(x+2)^2(4x+2), f''(x)=12(x+1)(x+2)
Precisa-se determinar o domínio de f, as interseções com os eixos coordenados e as assíntotas verticais e horizontais, se existirem. Como f é um polinômio de grau 4, usaremos as propriedades gerais de polinômios para responder.

Passo 2

Para achar o domínio, basta notar que não há frações, raízes pares ou logaritmos em ,f(x). Logo,
Domínio(f)=R í

Passo 3

Interseções com os eixos:
– Eixo x: resolvemos f(x)=0, ou seja
x(x+2)^3=0 ;Longrightarrow; x=0 ou x=-2
Portanto os pontos são (-2,0) e (0,0).
– Eixo y: basta x=0, dando
f(0)=0cdot(0+2)^3=0,
ou seja o ponto (0,0), que já veio de f(x)=0.

Passo 4

Assíntotas verticais e horizontais em polinômios:
– Não há assíntotas verticais porque não existem valores de x que tornem f(x) indefinida.
– Para assíntota horizontal, calculamos
limxtopminftyf(x)=pminfty
(devido ao termo dominante x^4). Não há reta horizontal que se aproxime de f(x) no infinito.
– Também não há assíntota oblíqua, pois o grau de f é maior que 1 e seu comportamento no infinito não é linear.

Resposta

Domínio: R
Interseções: eixo x em (-2,0) e (0,0); eixo y em (0,0)
Assíntotas verticais: nenhuma
Assíntotas horizontais: nenhuma

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