Calcule a soma dos coeficientes dos termos de ordem impar do desenvolvimento de \left(2 x^{2}-3 y\right)^{n}.

Passo 1

O enunciado pede a soma dos coeficientes dos termos de ordem ímpar no desenvolvimento de \left(2x^{2}-3y\right)^{n}. O conteúdo aqui é o binômio de Newton e um truque de substituição para separar coeficientes de termos com potências de y par e ímpar.

Passo 2

Escrevendo o desenvolvimento pelo binômio de Newton, temos
\left(2x^{2}-3y\right)^{n} =\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\bigl(2x^{2}\bigr)^{\,n-k}\bigl(-3y\bigr)^{k} =\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}2^{\,n-k}(-3)^{k}x^{2(n-k)}y^{k}.
O coeficiente do termo com y^{k} é
a_{k}=\binom{n}{k}2^{\,n-k}(-3)^{k}.

Passo 3

A ordem (grau total) do monômio x^{2(n-k)}y^{k} é
2(n-k)+k=2n-k.
Como 2n é par, 2n-k será ímpar exatamente quando k for ímpar. Logo, queremos
S_{\text{ímpar}}=\sum_{\substack{k=0\k\text{ ímpar}}}^{n}a_{k} =\sum_{\substack{k=0\k\text{ ímpar}}}^{n}\binom{n}{k}2^{\,n-k}(-3)^{k}.

Passo 4

Definimos duas somas auxiliares:
S_{\text{par}}=\sum_{\substack{k=0\k\text{ par}}}^{n}a_{k},\qquad S_{\text{ímpar}}=\sum_{\substack{k=0\k\text{ ímpar}}}^{n}a_{k}.
Sabemos que
S_{\text{par}}+S_{\text{ímpar}} =\sum_{k=0}^{n}a_{k} =\bigl(2\cdot1^{2}-3\cdot1\bigr)^{n} =(-1)^{n},í
pois basta substituir x=1 e y=1 em \left(2x^{2}-3y\right)^{n}.

Passo 5

Também temos
S_{\text{par}}-S_{\text{ímpar}} =\sum_{k=0}^{n}a_{k}(-1)^{k} =\bigl(2\cdot1^{2}-3\cdot(-1)\bigr)^{n} =5^{n},í
pois é a avaliação em x=1 e y=-1, o que insere um fator (-1)^{k} em cada termo.

Passo 6

Resolvendo o sistema
\begin{cases} S_{\text{par}}+S_{\text{ímpar}}=(-1)^{n},\\\ S_{\text{par}}-S_{\text{ímpar}}=5^{n}, \end{cases}íí
subtraímos a segunda equação da primeira para isolar S_{\text{ímpar}}í:
2\,S_{\text{ímpar}} =\bigl((-1)^{n}\bigr)-5^{n} \quad\Longrightarrow\quad S_{\text{ímpar}} =\frac{(-1)^{n}-5^{n}}{2}.íí

Resposta

\frac{(-1)^{n}-5^{n}}{2}.

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