Qual é o maior dentre os números a=101^{50} e b= 100^{50}+99^{50} ?

Passo 1

O enunciado pede para comparar a = 101^{50}
e b = 100^{50} + 99^{50}.
O conteúdo principal é manipulação de potências, uso de fator comum e expansão binomial para comparar esses números.

Passo 2

Extraímos o fator 100^{50} de b:
b = 100^{50} + 99^{50} = 100^{50}\Bigl(1 + \bigl(\tfrac{99}{100}\bigr)^{50}\Bigr).
Como
a = 101^{50} = 100^{50}\bigl(1{,}01\bigr)^{50},
basta comparar \bigl(1{,}01\bigr)^{50} com 1 + (0{,}99)^{50}.

Passo 3

Definimos para x>0 a função
f(x) = (1+x)^{50} - \bigl[1 + (1-x)^{50}\bigr] = (1+x)^{50} - 1 - (1-x)^{50}.
No nosso caso, queremos mostrar que f(0{,}01)>0, ou seja,
(1{,}01)^{50} > 1 + (0{,}99)^{50}.

Passo 4

Usando a expansão binomial, temos
(1+x)^{50} - (1-x)^{50} = 2\sum_{\substack{k=1\k\text{ ímpar}}}^{50}\binom{50}{k}x^k.
Para x=0{,}01, o primeiro termo da soma (com k=1) é
2\binom{50}{1}(0{,}01)^1 = 2\cdot50\cdot0{,}01 = 1,
e todos os outros termos (com k\ge3) são positivos. Logo
(1{,}01)^{50} - (1-0{,}01)^{50} > 1 \;\Longrightarrow\; (1{,}01)^{50} > 1 + (0{,}99)^{50}.
Portanto f(0{,}01)>0.

Passo 5

Como \bigl(1{,}01\bigr)^{50} > 1 + (0{,}99)^{50}, multiplicando ambos os lados por 100^{50}>0 obtemos
101^{50} > 100^{50} + 99^{50},
isto é, a>b.

Resposta

a é maior do que b.

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