Determine o coeficiente de x^{31} no desenvolvimento de (x+3)^{20} \cdot\left(x^{2}-1\right)^{7}.

Passo 1

O enunciado pede o coeficiente de x^{31} no produto
(x+3)^{20}\,\cdot\,(x^2-1)^{7}.
O conteúdo é expansão binomial e convolução de séries: vamos escrever cada fator como soma e depois combinar termos de grau 31.

Passo 2

Expandimos
(x+3)^{20}=\sum_{i=0}^{20}\binom{20}{i}x^i\,3^{20-i}
e
(x^2-1)^{7}=\sum_{j=0}^{7}\binom{7}{j}(x^2)^j\,(-1)^{7-j} =\sum_{j=0}^{7}\binom{7}{j}x^{2j}\,(-1)^{7-j}.

Passo 3

No produto, um termo genérico é
\binom{20}{i}3^{20-i}\,\binom{7}{j}(-1)^{7-j}\,x^{\,i+2j},
e queremos i+2j=31 com 0\le i\le20 e 0\le j\le7.
Isso dá i=31-2j. Verificando valores inteiros de j, só cabem
j=6\implies i=19 \quad\text{e}\quad j=7\implies i=17.

Passo 4

Calculamos cada contribuição:
Para j=6,\;i=19:
\binom{20}{19}=20,\quad3^{20-19}=3,\quad\binom{7}{6}=7,\quad(-1)^{7-6}=-1,
logo termo =20\cdot3\cdot7\cdot(-1)=-420. Para j=7,\;i=17:
\binom{20}{17}=\binom{20}{3}=1140,\quad3^{20-17}=27,\quad\binom{7}{7}=1,\quad(-1)^{7-7}=1,
logo termo =1140\cdot27=30780.

Passo 5

Somando as duas contribuições, o coeficiente de x^{31} é
30780 + (-420) = 30360.

Resposta

30360

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