Calcule a soma de Riemann da função f(x)=ln (x-1), 1 <= x <= 4.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma de Riemann da função f(x)=ln(x-1) no intervalo [1,4]. O conteúdo aqui é soma de Riemann e integral definida. Para resolver, vamos precisar definir uma partição uniforme do intervalo, calcular a largura De, escolher pontos de amostragem (vamos usar os extremos direitos), montar a soma sum f(xi),De, passar para o limite ntoinfty que dá a integral e então calcular essa integral.

Passo 2

Vamos particionar [1,4] em n subintervalos iguais. A largura de cada subintervalo é
De
Escolhemos o ponto de amostragem direito de cada subintervalo como
xi=1+i,De

Passo 3

A soma de Riemann pelo método dos extremos direitos fica
Sn=sumi=1^n f(xi),De
Como xi-1=3in, temos
Sn=sumi=1^n lnl(3inr)3n

Passo 4

Ao tomar o limite ntoinfty, essa soma converge para a integral definida
limntoinftySn=integral1^4 ln(x-1),dx
Para calcular, fazemos a substituição t=x-1, de modo que quando x=1, t=0, e quando x=4, t=3. Então
integral1^4 ln(x-1),dx=integral0^3 ln t,dt

Passo 5

Agora calculamos integral0^3ln t,dt. Usamos a primitiva
integral ln t,dt=tln t - t + C
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integral0^3 ln t,dt=l[tln t - tr]0^3=l(3ln3-3r)-l(0cdotln0-0r)=3ln3-3

Resposta

3\ln3 - 3

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