Exercício 4. Considere a função f(x, y)=raiz4-x^2-y^2.
(b) Encontre as curvas de nível para c=0,1 e 2. Esboce essas curvas no plano x y. (1 ponto)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função $ f(x, y) = \sqrt{4 - x^{2} - y^{2}} $ e precisamos encontrar as curvas de nível para $ c = 0, 1 $ e $ 2 $. Curvas de nível são linhas no plano $ xy $ onde a função assume um valor constante $ c $. Para resolver isso, vamos igualar a função a cada valor de $ c $ e descobrir quais são as equações resultantes.

Passo 2

Vamos começar com $ c = 0 $. Igualamos a função a zero:
c = 0
Para que a raiz quadrada seja zero, o que está dentro dela também precisa ser zero:
raiz4 - x^2 - y^2 = 0
Essa é a equação de um círculo com raio 2 centrado na origem.

Passo 3

Agora, vamos para $ c = 1 $. Igualamos a função a um:
c = 1
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
raiz4 - x^2 - y^2 = 1
Essa é a equação de um círculo com raio $ \sqrt{3} $ centrado na origem.

Passo 4

Por último, vamos para $ c = 2 $. Igualamos a função a dois:
c = 2
Elevando ambos os lados ao quadrado:
raiz4 - x^2 - y^2 = 2
A única solução para essa equação é $ x = 0 $ e $ y = 0 $, ou seja, o ponto na origem.

Resposta

As curvas de nível para $ c = 0 $ e $ c = 1 $ são círculos no plano $ xy $ centrados na origem com raios 2 e $ \sqrt{3} $, respectivamente. Para $ c = 2 $, a curva de nível é apenas o ponto $ (0, 0) $.

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