Exercício 4. Considere a função
.
(b) Encontre as curvas de nível para
e 2. Esboce essas curvas no plano
. (1 ponto)
(b) Encontre as curvas de nível para
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função $ f(x, y) = \sqrt{4 - x^{2} - y^{2}} $ e precisamos encontrar as curvas de nível para $ c = 0, 1 $ e $ 2 $. Curvas de nível são linhas no plano $ xy $ onde a função assume um valor constante $ c $. Para resolver isso, vamos igualar a função a cada valor de $ c $ e descobrir quais são as equações resultantes.
Passo 2
Vamos começar com $ c = 0 $. Igualamos a função a zero:
Para que a raiz quadrada seja zero, o que está dentro dela também precisa ser zero:
Essa é a equação de um círculo com raio 2 centrado na origem.
Passo 3
Agora, vamos para $ c = 1 $. Igualamos a função a um:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Essa é a equação de um círculo com raio $ \sqrt{3} $ centrado na origem.
Passo 4
Por último, vamos para $ c = 2 $. Igualamos a função a dois:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
A única solução para essa equação é $ x = 0 $ e $ y = 0 $, ou seja, o ponto na origem.
Resposta
As curvas de nível para $ c = 0 $ e $ c = 1 $ são círculos no plano $ xy $ centrados na origem com raios 2 e $ \sqrt{3} $, respectivamente. Para $ c = 2 $, a curva de nível é apenas o ponto $ (0, 0) $.