Exercício 3.
(d) Converta a equação
(coordenadas cilíndricas) para a forma cartesiana e identifique a superfície. ( 1,0 ponto)
(d) Converta a equação
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa converter a equação $ z = r^{2} + 1 $ de coordenadas cilíndricas para coordenadas cartesianas. Pra isso, vamos usar as relações entre esses dois sistemas de coordenadas. No final, vamos identificar que tipo de superfície essa equação representa.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como as coordenadas cilíndricas se relacionam com as cartesianas. As fórmulas são:
E também sabemos que $ r^{2} = x^{2} + y^{2} $.
Passo 3
Agora, vamos substituir $ r^{2} $ na equação original. A equação dada é:
Substituindo $ r^{2} $ por $ x^{2} + y^{2} $, ficamos com:
Passo 4
Pronto! Agora temos a equação na forma cartesiana:
Passo 5
Vamos identificar a superfície dessa equação. A fórmula $ z = x^{2} + y^{2} + 1 $ descreve um paraboloide elíptico que se abre para cima. É como uma tigela ou uma parábola girada em torno do eixo $ z $.
Resposta
A equação na forma cartesiana é $ z = x^{2} + y^{2} + 1 $ e representa um paraboloide elíptico.