Exercício 3.
(d) Converta a equação z=r^2+1 (coordenadas cilíndricas) para a forma cartesiana e identifique a superfície. ( 1,0 ponto)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa converter a equação $ z = r^{2} + 1 $ de coordenadas cilíndricas para coordenadas cartesianas. Pra isso, vamos usar as relações entre esses dois sistemas de coordenadas. No final, vamos identificar que tipo de superfície essa equação representa.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como as coordenadas cilíndricas se relacionam com as cartesianas. As fórmulas são:
x = r cos(theta)
y = r sin(theta)
z = z
E também sabemos que $ r^{2} = x^{2} + y^{2} $.

Passo 3

Agora, vamos substituir $ r^{2} $ na equação original. A equação dada é:
r^2
Substituindo $ r^{2} $ por $ x^{2} + y^{2} $, ficamos com:
z = r^2 + 1

Passo 4

Pronto! Agora temos a equação na forma cartesiana:
z = x^2 + y^2 + 1

Passo 5

Vamos identificar a superfície dessa equação. A fórmula $ z = x^{2} + y^{2} + 1 $ descreve um paraboloide elíptico que se abre para cima. É como uma tigela ou uma parábola girada em torno do eixo $ z $.

Resposta

A equação na forma cartesiana é $ z = x^{2} + y^{2} + 1 $ e representa um paraboloide elíptico.

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