Determine o rotacional e o divergente do campo vetorial
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o divergente e o rotacional do campo vetorial
. Vamos usar o operador nabla
e as definições padrão de divergente e rotacional.
Passo 2
Para o divergente usamos
. Calculamos cada termo:
Somando, vem
Passo 3
Para o rotacional usamos
. Calculamos cada componente:
$$
(\nabla\times\vec F)_x=\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z}=0-0=0,$$
$$
(\nabla\times\vec F)_y=\frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x}=x y-0=x y,$$
$$
(\nabla\times\vec F)_z=\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}=-2x y - x z.
\nabla\times\vec F=0,\vec i + x y,\vec j +(-2x y - x z),\vec k.$$
Resposta
Divergente:
. Rotacional:
.