Calcule a soma S1+S2 dos seguintes subespaços vetoriais de R^3 e verifique se a soma é direta.
S1=(x, 2 x, 0) mid x, y in R e S2=(x2, x, 0) rvert, x, z in R.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma de subespaços
S1 = (x,2x,0)mid xinR, S2 = ll(tfracx2,,x,,0r)mid xinRr
no espaço R^3 e verificar se essa soma é direta. Vamos usar a definição de soma de subespaços
S1+S2 = u+v mid uin S1,,vin S2
e o critério de soma direta: S1oplus S2 se e somente se S1cap S2 = 0.

Passo 2

Expressamos cada subespaço como um span de um único vetor.
Um vetor genérico de S1 é (x,2x,0)=x,(1,2,0), logo
S1 = Span(1,2,0)
De modo análogo, um vetor genérico de S2 é l(tfracx2,x,0r)=x,l(tfrac12,1,0r), logo
S2 = Spanll(tfrac12,1,0r)r

Passo 3

Repare que
l(tfrac12,1,0r) ;=;tfrac12,(1,2,0)
Isso mostra que Span(tfrac12,1,0)=Span(1,2,0). Portanto
S2 = S1

Passo 4

Se S2=S1, então
S1+S2 = S1,
pois somar o mesmo subespaço não altera o conjunto. Além disso
S1cap S2 = S1neq0,
ou seja, a interseção não é apenas o vetor zero.

Resposta

S1+S2 = (t,2t,0)mid tinR,
e a soma não é direta.

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