Calcule a soma
dos seguintes subespaços vetoriais de
e verifique se a soma é direta.
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a soma de subespaços
no espaço
R^3 e verificar se essa soma é direta. Vamos usar a definição de soma de subespaços
e o critério de soma direta:
S1oplus S2 se e somente se
S1cap S2 = 0 .
Passo 2
Expressamos cada subespaço como um span de um único vetor.
Um vetor genérico deS1 é
(x,2x,0)=x,(1,2,0) , logo
Um vetor genérico de
De modo análogo, um vetor genérico de
S2 é
l(tfracx2,x,0r)=x,l(tfrac12,1,0r) , logo
Passo 3
Repare que
Isso mostra que
Span(tfrac12,1,0)=Span(1,2,0) . Portanto
Passo 4
Se
S2=S1 , então
pois somar o mesmo subespaço não altera o conjunto. Além disso
ou seja, a interseção não é apenas o vetor zero.
Resposta
e a soma não é direta.