Verifique se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais do
com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar.
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
é um subespaço vetorial de
com as operações usuais. Para isso, precisamos checar três propriedades:
- se o vetor nulo pertence a
; - se
é fechado sob adição vetorial; - se
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Testando o vetor nulo: o vetor nulo em
é
. Para que
, deveríamos ter
o que é falso. Logo, o vetor nulo não pertence a
.
Passo 3
Mesmo que bastasse a falha no vetor nulo, podemos também ver a falta de fechamento sob adição. Por exemplo, tomemos
Ambos satisfazem
e
, então
. Mas
e
, de modo que
.
Passo 4
Como
não contém o vetor nulo e não é fechado sob adição, concluímos que
não satisfaz as condições de subespaço vetorial.