Verifique se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais do R^3 com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar.
(x, y, z) mid x+y+z=1.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
S = (x,y,z)in R^3 mid x+y+z=1
é um subespaço vetorial de R^3 com as operações usuais. Para isso, precisamos checar três propriedades:
  1. se o vetor nulo pertence a S;
  2. se S é fechado sob adição vetorial;
  3. se S é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Testando o vetor nulo: o vetor nulo em R^3 é (0,0,0). Para que (0,0,0)in S, deveríamos ter
0 + 0 + 0 = 1,
o que é falso. Logo, o vetor nulo não pertence a S.

Passo 3

Mesmo que bastasse a falha no vetor nulo, podemos também ver a falta de fechamento sob adição. Por exemplo, tomemos
v = (1,0,0), w = (0,1,0)
Ambos satisfazem 1+0+0=1 e 0+1+0=1, então v,win S. Mas
v + w = (1,1,0)
e 1+1+0 = 2 neq 1, de modo que v+wnotin S.

Passo 4

Como S não contém o vetor nulo e não é fechado sob adição, concluímos que S não satisfaz as condições de subespaço vetorial.

Resposta

S não é um subespaço vetorial de R^3.

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