Determine o valor de raiza para que a área do paralelogramo determinado por u=(2,1,-1) e v=(1,-1, a) seja igual a 62.

Passo 1

O enunciado pede para determinar raiza de modo que a área do paralelogramo gerado por
u=(2,1,-1) e v=(1,-1,a) seja 62.
O conteúdo necessário é o cálculo do produto vetorial utimesv e a sua norma.

Passo 2

Calculamos o produto vetorial
utimesv = i&j&k 2&1&-1 1&-1&a =l(1cdot a-(-1)cdot(-1),,-l(2cdot a-(-1)cdot1r),,2cdot(-1)-1cdot1r)
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utimesv=(a-1,,-(2a+1),,-3)

Passo 3

A área do paralelogramo é |utimesv|. Primeiro computamos o quadrado da norma:
|utimesv|^2 =(a-1)^2+(2a+1)^2+(-3)^2 =5a^2+2a+11
Então
|utimesv| =raiz5a^2+2a+11

Passo 4

Impondo |utimesv|=62, obtemos
raiz5a^2+2a+11=62 Longrightarrow 5a^2+2a+11=62^2=3844 Longrightarrow 5a^2+2a-3833=0

Passo 5

Resolvendo a equação quadrática:
a=-2pmraiz2^2-4cdot5cdot(-3833)2cdot5 =-2pmraiz4+7666010 =-2pmraiz7666410 =-2pm74raiz1410 =-1pm37raiz145
Dessas duas soluções, apenas
a=-1+37raiz145
é não negativa, permitindo definir raiza.

Passo 6

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raiza =raiz-1+37raiz145 =raiz37raiz14-15

Resposta

raiza=raiz37raiz14-15

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