(a) Calcule a soma das seguintes séries numéricas convergentes:
  1. sumk=1^infty (-1)^k+1k

Passo 1

O problema pede pra calcular a soma da série alternada sumk=1^infty (-1)^k+1k. O conteúdo principal aqui é séries de potências e convergência condicional, e vamos usar a expansão em série de Taylor (Maclaurin) da função ln(1+x).

Passo 2

A gente começa com a série geométrica e obtém ln(1+x) integrando. Para |x|<1 vale:
11+x=sumk=0^infty(-1)^k x^k
Integrando de 0 até x:
ln(1+x)=integral0^x11+tdt=sumk=0^infty(-1)^kintegral0^x t^k dt=sumk=0^infty(-1)^kx^k+1k+1
Reindexando (colocando k+1to k) chega-se a:
ln(1+x)=sumk=1^infty(-1)^k+1x^kk

Passo 3

Agora basta pôr x=1. Como a série converge condicionalmente em x=1, obtemos
sumk=1^infty(-1)^k+1k=ln(1+1)=ln(2)

Resposta

ln(2)

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