Se
e
, calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função $ g(\sqrt{x}) = \frac{f(\ln(x))}{e^{2x}} $. A gente sabe que $ f(0) = 1 $ e $ f’(0) = 4 $. Nosso objetivo é encontrar a derivada de $ g $ quando $ x = 1 $, ou seja, $ g’(1) $. Para resolver isso, vamos usar a regra da cadeia e entender como derivar funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função $ g $ em termos mais claros. Sabemos que $ g(\sqrt{x}) = \frac{f(\ln(x))}{e^{2x}} $. Mas a gente quer a derivada de $ g $ em relação a $ x $, então é melhor expressar $ g $ diretamente em $ x $. Vamos chamar $ u = \sqrt{x} $, então temos:
Porque $ u = \sqrt{x} $ implica $ \ln(x) = \ln(u^2) = 2\ln(u) $.
Passo 3
Agora, para encontrar $ g’(x) $, precisamos derivar $ g(u) $ com relação a $ u $ e depois multiplicar pela derivada de $ u $ com relação a $ x $, isso é a regra da cadeia. Então,
Sabemos que $ u = \sqrt{x} $, então $ \frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}} $.
Passo 4
Vamos derivar a parte complicada, que é $ \frac{f(2\ln(u))}{e{2u2}} $. Vamos chamar essa parte de $ h(u) = \frac{f(2\ln(u))}{e{2u2}} $. A derivada de $ h(u) $ é dada pela regra do quociente:
Isso simplifica para:
Passo 5
Agora, juntando tudo, temos:
Substituindo $ u = \sqrt{x} $, ficamos com:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos avaliar $ g’(1) $. Quando $ x = 1 $:
- $ \ln(\sqrt{1}) = \ln(1) = 0 $
- $ f(2\ln(\sqrt{1})) = f(0) = 1 $
- $ f’(2\ln(\sqrt{1})) = f’(0) = 4 $
Substituindo esses valores na expressão de $ g’(x) $:
Resposta
Então, a derivada de $ g $ em $ x = 1 $ é $ \frac{2}{e^{2}} $.