Se f(0)=1, f^prime(0)=4 e g(raizx)=f(ln (x)) / e^wed>= 2 x, calcule g^prime(1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função $ g(\sqrt{x}) = \frac{f(\ln(x))}{e^{2x}} $. A gente sabe que $ f(0) = 1 $ e $ f’(0) = 4 $. Nosso objetivo é encontrar a derivada de $ g $ quando $ x = 1 $, ou seja, $ g’(1) $. Para resolver isso, vamos usar a regra da cadeia e entender como derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função $ g $ em termos mais claros. Sabemos que $ g(\sqrt{x}) = \frac{f(\ln(x))}{e^{2x}} $. Mas a gente quer a derivada de $ g $ em relação a $ x $, então é melhor expressar $ g $ diretamente em $ x $. Vamos chamar $ u = \sqrt{x} $, então temos:
g
Porque $ u = \sqrt{x} $ implica $ \ln(x) = \ln(u^2) = 2\ln(u) $.

Passo 3

Agora, para encontrar $ g’(x) $, precisamos derivar $ g(u) $ com relação a $ u $ e depois multiplicar pela derivada de $ u $ com relação a $ x $, isso é a regra da cadeia. Então,
g'(x)
Sabemos que $ u = \sqrt{x} $, então $ \frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}} $.

Passo 4

Vamos derivar a parte complicada, que é $ \frac{f(2\ln(u))}{e{2u2}} $. Vamos chamar essa parte de $ h(u) = \frac{f(2\ln(u))}{e{2u2}} $. A derivada de $ h(u) $ é dada pela regra do quociente:
f(2ln(u))e^2u^2
Isso simplifica para:
h(u) = f(2ln(u))e^2u^2

Passo 5

Agora, juntando tudo, temos:
g'(x) = ( 2f'(2ln(u))u e^2u^2 - 4u f(2ln(u))e^2u^2 ) cdot 12u
Substituindo $ u = \sqrt{x} $, ficamos com:
u = raizx
Simplificando:
g'(x) = 2f'(2ln(raizx))raizx e^2x cdot 12raizx - 4raizx f(2ln(raizx))e^2x cdot 12raizx

Passo 6

Agora, vamos avaliar $ g’(1) $. Quando $ x = 1 $:
  • $ \ln(\sqrt{1}) = \ln(1) = 0 $
  • $ f(2\ln(\sqrt{1})) = f(0) = 1 $
  • $ f’(2\ln(\sqrt{1})) = f’(0) = 4 $
Substituindo esses valores na expressão de $ g’(x) $:
g'(1)

Resposta

Então, a derivada de $ g $ em $ x = 1 $ é $ \frac{2}{e^{2}} $.

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