(a) Encontre o valor da soma de cada uma das séries numéricas dadas.
  1. sumk=0^infty (-1)^k pi^2 k+12^2 k+1(2 k+1)!

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma da série sumk=0^infty (-1)^k,pi^2k+12^2k+1(2k+1)!. O conteúdo principal é a expansão em série de Taylor (ou Maclaurin) da função seno. Vamos usar essa ideia para resolver.

Passo 2

A série de Taylor para sin x em torno de zero é dada por:
sin x = sumk=0^infty (-1)^k x^2k+1(2k+1)!
Aqui a fórmula nos diz como representar sin x como soma infinita.

Passo 3

Para identificar a série dada com sin x, note que na nossa soma temos pi^2k+1/2^2k+1 = (pi/2)^2k+1. Ou seja:
sumk=0^infty (-1)^k,pi^2k+12^2k+1(2k+1)! = sumk=0^infty (-1)^k (pi/2)^2k+1(2k+1)! = sinl(pi/2r)

Passo 4

Basta então usar o valor conhecido sin(pi/2)=1. Dessa forma obtemos a soma da série como 1.

Resposta

1

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