Gere gráfico deste Resultado da Transformada de Fourier
F(\omega)=\frac{\pi^{2}}{2} \delta(\omega)+[2-i \pi] \delta(\omega-1)+[2+i \pi] \delta(\omega+1)-i \frac{\pi}{2}[\delta(\omega-2)-\delta(\omega+2)]+\left[\frac{2}{9}-i \frac{\pi}{3}\right] \delta(\omega-3)+\left[\frac{2}{9}+i \frac{\pi}{3}\right] \delta(\omega+3)

Passo 1

O enunciado pede para plotar graficamente a Transformada de Fourier
F(\omega) = \frac{\pi^{2}}{2}\,\delta(\omega) + \bigl[2 - i\pi\bigr]\,\delta(\omega-1) + \bigl[2 + i\pi\bigr]\,delta(\omega+1) - i\,\frac{\pi}{2}\bigl[\delta(\omega-2)-\delta(\omega+2)\bigr] + \Bigl[\tfrac{2}{9}-i\,\tfrac{\pi}{3}\Bigr]\,\delta(\omega-3) + \Bigl[\tfrac{2}{9}+i\,\tfrac{\pi}{3}\Bigr]\,\delta(\omega+3)\,.
Como são deltas em frequências discretas, vamos representá-los como “sticks” (stem plot) em \omega=\{0,\pm1,\pm2,\pm3\}, mostrando parte real e imaginária.

Passo 2

Identificamos as frequências \omega_k e os coeficientes complexos A_k:
\begin{aligned} \omega &= [0,\;1,\;-1,\;2,\;-2,\;3,\;-3],\\\ A &= \Bigl[\tfrac{\pi^2}{2},\;2 - i\pi,\;2 + i\pi,\;-i\frac{\pi}{2},\;i\frac{\pi}{2},\;\tfrac{2}{9}-i\frac{\pi}{3},\;\tfrac{2}{9}+i\frac{\pi}{3}\Bigr]. \end{aligned}

Passo 3

A seguir um trecho de código em Python (matplotlib) que gera dois subplots: parte real e parte imaginária dos “impulsos” em cada \omega_k.
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Frequências e amplitudes
omega = np.array([0, 1, -1, 2, -2, 3, -3])
A = np.array([
    np.pi**2/2,
    2 - 1j*np.pi,
    2+1j*np.pi,
    -1j*np.pi/2,
    1j*np.pi/2,
    2/9 - 1j*np.pi/3,
    2/9+1j*np.pi/3
])

# Partes real e imaginária
realA = A.real
imagA = A.imag

# Plot
fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(2, 1, figsize=(8,6), sharex=True)

ax1.stem(omega, realA, basefmt=" ", linefmt="C0-", markerfmt="C0o")
ax1.set_ylabel("Re\{F(\(\omega\))\}")
ax1.grid(True)

ax2.stem(omega, imagA, basefmt=" ", linefmt="C1-", markerfmt="C1o")
ax2.set_xlabel("\(\omega\)")
ax2.set_ylabel("Im\{F(\(\omega\))\}")
ax2.grid(True)

plt.tight_layout()
plt.show()

Resposta

O código acima gera um gráfico com dois subplots: no primeiro, os “sticks” na parte real de F(\omega); no segundo, os “sticks” na parte imaginária. Cada pico em \omega=0,\pm1,\pm2,\pm3 tem altura igual ao valor real ou imaginário do coeficiente correspondente.

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