Converge ou diverge?
(a) \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^{2}}{2^{n}}
b.) \sum_{n=0}^{\infty} \frac{3-\cos (n)}{n^{3 / 2}-2}

Passo 1

Temos duas séries infinitas e queremos decidir se elas convergem ou divergem. O conteúdo aqui é teste de convergência de séries: usaremos o criterioso da razão para a série (a) e o teste de comparação (p-série) para a série (b).

Passo 2

Considere a série
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^{2}}{2^{n}}.
Aplique o critério da razão, tomando
a_{n} = \frac{n^{2}}{2^{n}}.
Calcule a razão
L = \lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| = \lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)^{2}/2^{\,n+1}}{n^{2}/2^{\,n}} = \lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)^{2}}{2\,n^{2}} = \frac{1}{2}.
Como L = \tfrac12 < 1, a série converge absolutamente, logo converge.

Passo 3

Considere agora
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{3-\cos(n)}{n^{3/2}-2}.
Para n grande, o numerador satisfaz
2 \le 3 - \cos(n) \le 4
e o denominador
n^{3/2}-2 \ge \frac{1}{2}\,n^{3/2} \quad\text{para }n\ge 3.
Logo, para n\ge 3,
0 \le \frac{3-\cos(n)}{n^{3/2}-2} \le \frac{4}{\tfrac12\,n^{3/2}} = \frac{8}{n^{3/2}}.
Como \sum 8\,n^{-3/2} é uma p-série com p=3/2>1, ela converge. Pelo teste de comparação, a série original converge.

Resposta

(a) Converge
(b) Converge

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