Calcule a soma da série dada:
Passo 1
Resumindo o enunciado, a gente precisa calcular a soma da série
. O assunto é séries infinitas e vamos ver se essa série converge ou diverge usando termos gerais e somas parciais.
Passo 2
Primeiro, define o termo geral
. Na teoria de séries, um teste básico é ver se
. Se não for zero, a série já diverge.
Passo 3
Observa que, para k par,
e aí
; para k ímpar,
e
. Logo a sequência de termos fica 2, 0, 2, 0, … e ela não tende a zero.
Passo 4
Como
não tende a zero, a série não converge. A gente também pode olhar as somas parciais e ver que elas crescem sem limite, confirmando a divergência.
Resposta
A série diverge; não converge a um valor finito (as somas parciais vão para +∞).