Sabe-se que, se você investir por 10 anos a quantia de US$1000 a uma taxa anual de compostos continuamente, terá um saldo de US B B=g®$. Dê uma interpretação financeira das sentenças:
(a) .
(b) . Quais são as unidades de ?

Passo 1

O enunciado diz que se investirmos $1000 por 10 anos a uma taxa anual de r% com capitalização contínua, o saldo final é
B = g(r)
O que precisamos usar é a fórmula de juros compostos continuamente e a derivada g'(r) para interpretar crescimento marginal.

Passo 2

Pela fórmula de juros compostos continuamente, o montante após t anos de um principal P a uma taxa anual em fração R é P e^Rt. Aqui P=1000, t=10 e R = tfracr100. Logo
g(r) = 1000 expl(10 cdot tfracr100r) = 1000 e^0,1r

Passo 3

Para r=5, temos
g(5) = 1000 e^0,1cdot 5 = 1000 e^0,5approx 1000 times 1,6487 = 1648,7approx 1649

Passo 4

A sentença g(5)approx 1649 significa que, ao aplicar uma taxa de 5% ao ano com capitalização contínua durante 10 anos, o investimento de $1000 cresce para aproximadamente $1649.

Passo 5

Agora calculamos a derivada de g. Como
g(r) = 1000 e^0,1r,
então
g'(r) = 1000 cdot 0,1 ,e^0,1r = 100,e^0,1r

Passo 6

Em r=5 isso dá
g'(5) = 100 e^0,1cdot5 = 100 e^0,5approx 100 times 1,6487 = 164,87approx 165

Passo 7

A interpretação de g'(5)approx 165 é: se aumentarmos a taxa de juros anual em um ponto percentual (de 5% para 6%), o saldo final após 10 anos aumenta em cerca de $165. Portanto, as unidades de g'(5) são dólares por ponto percentual (USD / % de taxa).

Resposta

(a) g(5)approx1649 indica que, a 5% ao ano compostos continuamente por 10 anos, $1000 viram $1649.
(b) g'(5)approx165 significa que cada ponto percentual adicional na taxa, em torno de 5%, acrescenta cerca de $165 ao saldo; as unidades são dólares por percentual.

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