Calcule a soma da série identificando a função para a qual a série converge, e o respectivo intervalo de convergência:
sumn=1^infty n x^n-1

Passo 1

O enunciado pede a soma da série de potências sumn=1^infty n x^n-1, identificando a função geratriz para a qual ela converge e seu intervalo de convergência. O conteúdo aqui é séries de potências e usamos a derivada de séries para encontrar a soma.

Passo 2

Começamos lembrando a série geométrica padrão. Para |x|<1 vale
sumn=0^infty x^n = 11-x

Passo 3

Como a nossa série tem o termo n x^n-1, podemos obter essa soma derivando termo a termo a série geométrica. Derivando sumn=0^infty x^n obtemos:
ddxsumn=0^infty x^n = sumn=1^infty n x^n-1 = ddxl(11-xr)

Passo 4

Agora, basta calcular a derivada:
ddxl(11-xr) = 1(1-x)^2

Passo 5

O intervalo de convergência dessa série é o mesmo da série geométrica original, ou seja, |x|<1.

Resposta

A série converge para 1(1-x)^2 em |x|<1.

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