Calcule a soma da série identificando a função para a qual a série converge, e o respectivo intervalo de convergência:
Passo 1
O enunciado pede a soma da série de potências
, identificando a função geratriz para a qual ela converge e seu intervalo de convergência. O conteúdo aqui é séries de potências e usamos a derivada de séries para encontrar a soma.
Passo 2
Começamos lembrando a série geométrica padrão. Para
vale
Passo 3
Como a nossa série tem o termo
, podemos obter essa soma derivando termo a termo a série geométrica. Derivando
obtemos:
Passo 4
Agora, basta calcular a derivada:
Passo 5
O intervalo de convergência dessa série é o mesmo da série geométrica original, ou seja,
.
Resposta
A série converge para
em
.