Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
a) z=5 x^2 y+2 x y^3+3 y^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função z = 5x^2y + 2xy^3 + 3y^2. O conteúdo envolvido é derivação parcial de funções de duas variáveis e vamos usar a regra de derivação, tratando uma variável como constante quando derivamos em relação à outra.

Passo 2

Para encontrar partial zpartial x, derivamos z em relação a x, considerando y constante:
partialpartial x(5x^2y) = 5y cdot 2x = 10xy
partialpartial x(2xy^3) = 2y^3 cdot 1 = 2y^3
partialpartial x(3y^2) = 0
Somando, obtemos
partial zpartial x = 10xy + 2y^3

Passo 3

Para encontrar partial zpartial y, derivamos z em relação a y, considerando x constante:
partialpartial y(5x^2y) = 5x^2 cdot 1 = 5x^2
partialpartial y(2xy^3) = 2x cdot 3y^2 = 6xy^2
partialpartial y(3y^2) = 3 cdot 2y = 6y
Somando, obtemos
partial zpartial y = 5x^2 + 6xy^2 + 6y

Resposta

partial zpartial x = 10xy + 2y^3, partial zpartial y = 5x^2 + 6xy^2 + 6y

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