Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
c)
c)
Passo 1
Vamos resolver o exercício de cálculo que pede para encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função
. Aqui, o conteúdo envolve derivadas parciais, que são usadas quando temos funções com mais de uma variável e queremos ver como a função muda em relação a cada uma dessas variáveis individualmente. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. A função
tem
como a parte interna da função. Segundo a regra da cadeia, derivamos a parte externa e depois multiplicamos pela derivada da parte interna em relação a
.
Passo 3
Derivando a parte externa, que é
onde
, temos:
Agora, derivamos a parte interna
em relação a
:
Multiplicando as duas derivadas, obtemos:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Usamos a mesma abordagem da regra da cadeia. A parte externa é novamente
com
.
Passo 5
Derivando a parte externa:
Derivando a parte interna
em relação a
:
Multiplicando as duas derivadas, obtemos:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função
são: