Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
c) z=(3 x+2 y)^5

Passo 1

Vamos resolver o exercício de cálculo que pede para encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função . Aqui, o conteúdo envolve derivadas parciais, que são usadas quando temos funções com mais de uma variável e queremos ver como a função muda em relação a cada uma dessas variáveis individualmente. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . A função tem como a parte interna da função. Segundo a regra da cadeia, derivamos a parte externa e depois multiplicamos pela derivada da parte interna em relação a .

Passo 3

Derivando a parte externa, que é dduu^5 = 5u^4 onde partialpartial x(3x + 2y) = 3 , temos:
partial zpartial x = 5(3x + 2y)^4 times 3 = 15(3x + 2y)^4
Agora, derivamos a parte interna em relação a :
Multiplicando as duas derivadas, obtemos:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Usamos a mesma abordagem da regra da cadeia. A parte externa é novamente com .

Passo 5

Derivando a parte externa:
dduu^5 = 5u^4
Derivando a parte interna partialpartial y(3x + 2y) = 2 em relação a partial zpartial y = 5(3x + 2y)^4 times 2 = 10(3x + 2y)^4 :
Multiplicando as duas derivadas, obtemos:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função partial zpartial x = 15(3x + 2y)^4 são:
partial zpartial y = 10(3x + 2y)^4

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