Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
b) f(x, y)=2 x(y-3 x)-4 y

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada parcial de primeira ordem da função $ f(x, y) = 2x(y - 3x) - 4y $. Isso faz parte do estudo de cálculo diferencial, mais especificamente sobre derivadas parciais. Para isso, vamos precisar entender como derivar uma função em relação a uma variável enquanto mantém a outra constante.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a derivação. Vamos distribuir o $ 2x $ na expressão $ (y - 3x) $:
2x

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial x} $. Para isso, tratamos $ y $ como uma constante.
Derivando termo a termo:
  • $ 2xy $ em relação a $ x $ é $ 2y $
  • $ -6x^2 $ em relação a $ x $ é $ -12x $
  • $ -4y $ em relação a $ x $ é $ 0 $ (já que $ y $ é constante)
Então:
x

Passo 4

Em seguida, vamos encontrar a derivada parcial em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial y} $. Aqui, tratamos $ x $ como uma constante.
Derivando termo a termo:
  • $ 2xy $ em relação a $ y $ é $ 2x $
  • $ -6x^2 $ em relação a $ y $ é $ 0 $ (já que $ x $ é constante)
  • $ -4y $ em relação a $ y $ é $ -4 $
Então:
y

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:
partial fpartial x = 2y - 12x
partial fpartial y = 2x - 4

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