Cálcule a soma da série ou mostre que a série diverge
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular a soma da série infinita
ou mostrar que essa série não tem uma soma finita (ou seja, que ela diverge). Para resolver isso, vamos trabalhar com séries geométricas e usar a fórmula que ajuda a encontrar a soma delas quando elas convergem.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar se essa série é uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma geral:
onde:
-
é o primeiro termo, -
é a razão comum entre os termos.
No nosso caso, a série é
. Aqui, a razão
é
, porque cada termo é
vezes o anterior.
Passo 3
Agora, precisamos verificar se a série converge ou diverge. Para séries geométricas, a regra é simples:
- Se
, a série converge. - Se
, a série diverge.
Como
e
, sabemos que a série converge. Ou seja, ela tem uma soma finita.
Passo 4
Vamos usar a fórmula da soma de uma série geométrica infinita convergente:
onde:
-
é a soma da série, -
é o primeiro termo da série, -
é a razão.
No nosso caso, a série começa em
, então o primeiro termo
é
.
Passo 5
Agora, vamos substituir os valores na fórmula:
Resposta
A soma da série é
.