Cálcule a soma da série ou mostre que a série diverge
sumk=3^infty(12)^k

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular a soma da série infinita sumk=3^infty(12)^k ou mostrar que essa série não tem uma soma finita (ou seja, que ela diverge). Para resolver isso, vamos trabalhar com séries geométricas e usar a fórmula que ajuda a encontrar a soma delas quando elas convergem.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar se essa série é uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma geral:
sumk=0^infty ar^k
onde:
  • a é o primeiro termo,
  • r é a razão comum entre os termos.
No nosso caso, a série é sumk=3^infty(12)^k. Aqui, a razão r é 12, porque cada termo é 12 vezes o anterior.

Passo 3

Agora, precisamos verificar se a série converge ou diverge. Para séries geométricas, a regra é simples:
  • Se |r| < 1, a série converge.
  • Se |r| >= 1, a série diverge.
Como r = 12 e 12 < 1, sabemos que a série converge. Ou seja, ela tem uma soma finita.

Passo 4

Vamos usar a fórmula da soma de uma série geométrica infinita convergente:
S = a1 - r
onde:
  • S é a soma da série,
  • a é o primeiro termo da série,
  • r é a razão.
No nosso caso, a série começa em k=3, então o primeiro termo a é (12)^3 = 18.

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores na fórmula:
S = 181 - 12 = 1812 = 18 times 2 = 14

Resposta

A soma da série é 14.

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