Cálcule a soma da série ou mostre que a série diverge
sumk=1^infty 2^k 5^-k+2

Passo 1

O enunciado pede para somar a série sumk=1^infty2^k5^-k+2. Isso é uma série infinita do tipo geométrica, então vamos identificar primeiro a forma do termo geral e o razão para aplicar a fórmula de soma.

Passo 2

Reescrevemos o fator 5^-k+2 usando propriedades de potências:
5^-k+2=5^2cdot 5^-k=25cdot 5^-k
Com isso, o termo geral da série fica
ak=2^k,5^-k+2=2^kcdot25cdot5^-k=25,2^k5^k=25l(25r)^k
Logo a série original é
sumk=1^infty2^k5^-k+2=sumk=1^infty25l(25r)^k=25sumk=1^inftyl(25r)^k

Passo 3

Reconhecemos uma série geométrica de razão r=tfrac25. Como |r|=tfrac25<1, a série converge e sua soma é dada por
sumk=1^inftyr^k=r1-r
Aplicando no nosso caso:
sumk=1^inftyl(25r)^k=tfrac251-tfrac25=tfrac25tfrac35=23

Passo 4

Multiplicando pelo fator 25 que estava fora da soma, obtemos a soma da série:
25times23=503

Resposta

503

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