É convergente ou divergente? Justifique.
sumn=2^infty (-1)^n ln nraizn

Passo 1

Temos a série alternante sumn=2^infty (-1)^n ln nraizn. O conteúdo aqui é séries alternantes e testes de convergência (Leibniz e absoluto). Vamos precisar do teste de Leibniz (requer que o termo positivo bn tenda a zero e seja monotonicamente decrescente a partir de algum n).

Passo 2

O termo geral positivo associado é bn=ln nraizn. Primeiro, verificamos o limite
limntoinfty bn = limntoinfty ln nraizn = 0,
pois raizn cresce muito mais rápido que ln n.
Precisamos agora mostrar que bn é decrescente para grandes n. Considere a função contínua
f(x)=ln xraizx, x>=2
Calculando a derivada,
f'(x)=1xcdot x^-1/2 - ln xcdot 12 x^-3/2 = x^-3/2l(1 - tfrac12ln xr)
O sinal de f'(x) é dado por 1-tfrac12ln x. Repare que:
1-tfrac12ln x<0 Leftrightarrow ln x>2 Leftrightarrow x>e^2approx7,39
Logo, para x>e^2 (ou seja, para n>=8), temos f'(x)<0 e, portanto, bn é decrescente a partir de n=8.

Passo 3

Como bn>0, bnto0 e bn é monotonicamente decrescente para n grande, podemos aplicar o teste de Leibniz à cauda da série (a partir de n=8). Isso garante que a parte infinita da soma converge. Somando um número finito de termos iniciais (de n=2 a 7) não afeta a convergência. Portanto, a série sumn=2^infty (-1)^n bn converge.

Passo 4

Para verificar a convergência absoluta, analisamos
sumn=2^infty |(-1)^n bn| = sumn=2^infty ln nraizn
Usando o teste da integral,
integral2^infty ln xraizx,dx,
fazendo a substituição u=raizx ou integração por partes, mostra-se que essa integral diverge (cresce como 2raizxln x quando xtoinfty). Logo, sum ln nraizn diverge, e a convergência não é absoluta.

Passo 5

Concluímos que a série alternante converge (pelo teste de Leibniz) mas não converge absolutamente.

Resposta

A série converge condicionalmente (é convergente mas não absolutamente).

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