É convergente ou divergente? Justifique.
Passo 1
Temos a série alternante
. O conteúdo aqui é séries alternantes e testes de convergência (Leibniz e absoluto). Vamos precisar do teste de Leibniz (requer que o termo positivo
tenda a zero e seja monotonicamente decrescente a partir de algum
).
Passo 2
O termo geral positivo associado é
. Primeiro, verificamos o limite
pois
cresce muito mais rápido que
.
Precisamos agora mostrar que é decrescente para grandes
. Considere a função contínua
Precisamos agora mostrar que
Calculando a derivada,
O sinal de
é dado por
. Repare que:
Logo, para
(ou seja, para
), temos
e, portanto,
é decrescente a partir de
.
Passo 3
Como
,
e
é monotonicamente decrescente para
grande, podemos aplicar o teste de Leibniz à cauda da série (a partir de
). Isso garante que a parte infinita da soma converge. Somando um número finito de termos iniciais (de
a
) não afeta a convergência. Portanto, a série
converge.
Passo 4
Para verificar a convergência absoluta, analisamos
Usando o teste da integral,
fazendo a substituição
ou integração por partes, mostra-se que essa integral diverge (cresce como
quando
). Logo,
diverge, e a convergência não é absoluta.
Passo 5
Concluímos que a série alternante converge (pelo teste de Leibniz) mas não converge absolutamente.
Resposta
A série converge condicionalmente (é convergente mas não absolutamente).