Determine x para que a série seja convergente. ( Convencionaremos aqui que 0^0=1.)
sumn=1^infty(-1)^n x^2 n(2 n)!

Passo 1

O enunciado pede para determinar os valores de x para que a série sumn=1^infty(-1)^nx^2n(2n)! seja convergente. O conteúdo aqui é série de potências e vamos usar o critério da razão para séries numéricas.

Passo 2

Seja an = (-1)^nx^2n(2n)!. Para o critério da razão, analisamos L = limntoinfty |an+1an|.
Calculando o quociente dos valores absolutos:
|an+1an| = |x|^2(n+1)(2n+2)!cdot(2n)!|x|^2n = |x|^2(2n+2)(2n+1)

Passo 3

Como (2n+2)(2n+1)toinfty quando ntoinfty, temos
L = limntoinfty |x|^2(2n+2)(2n+1) = 0

Passo 4

O critério da razão diz que, se L<1, a série converge absolutamente. Aqui L=0<1 para qualquer valor real de x.
Portanto, a série converge (na verdade, converge absolutamente) para todo xinR.

Resposta

A série converge para todo xinR.

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