Determine se a série é convergente ou divergente. Se for for convergente, calcule sua soma. \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{\mathrm{e}^{n}}+\frac{1}{n(n+1)}\right)
é convergente ou divergente. Se for convergente, devemos também calcular a sua soma.
Informações dadas importantes: para cada n\ge1 o termo geral é a soma de dois termos, \dfrac{1}{\mathrm{e}^{n}} e \dfrac{1}{n(n+1)}. Não há figura nem tabela. A série é uma soma infinita indexada por n.
Passo 2
Estratégia básica (sem resolver ainda): quando cada termo da série é soma de duas parcelas, podemos tentar escrever a série como soma de duas séries separadas:
Isto é permitido porque somas de séries são lineares: se as duas séries à direita convergirem, a série original converge e sua soma é a soma das somas. Vamos, então, estudar cada uma das duas séries separadamente.
Passo 3
Analisando a primeira soma \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{\mathrm{e}^{n}}.
Aqui reconhecemos uma série geométrica: uma série geométrica tem a forma \sum_{n=1}^{\infty} a r^{\,n-1} ou, de forma equivalente, \sum_{n=1}^{\infty} ar^{n} dependendo do índice. Uma propriedade fundamental é: se |r|<1 então a série geométrica converge e sua soma é \dfrac{a}{1-r} (ou, na forma \sum_{n=1}^{\infty} ar^{n}, soma \dfrac{ar}{1-r}). Vou mostrar rapidamente como se obtém a fórmula: para S_N=\sum_{n=1}^{N}ar^{n} temos
S_N = ar + ar^2 + \cdots + ar^N.
Multiplicando por r e subtraindo, obtemos
S_N - r S_N = ar - ar^{N+1} \quad\Rightarrow\quad S_N(1-r)=ar(1-r^{N}),
logo
S_N = \frac{ar(1-r^{N})}{1-r}.
Se |r|<1 então r^{N}\to0 quando N\to\infty, e assim a soma infinita vale \dfrac{ar}{1-r}.
No nosso caso temos a=1 e r=\dfrac{1}{\mathrm{e}}. Note que \left|\dfrac{1}{\mathrm{e}}\right|<1 porque \mathrm{e}\approx2{,}718>1. Portanto a série geométrica converge e a soma é
Analisando a segunda soma \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n(n+1)}.
Aqui usamos uma técnica chamada frações parciais que facilita ver um efeito telescópico. A ideia é decompor o termo racional em diferenças simples:
procuramos constantes A e B tais que
\frac{1}{n(n+1)}=\frac{A}{n}+\frac{B}{n+1}.
Multiplicando por n(n+1) obtemos 1 = A(n+1)+Bn. Igualando coeficientes ou testando valores de n vemos que A=1 e B=-1. Logo
\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}.
Passo 5
Agora somamos os primeiros N termos da segunda série (soma parcial) e vemos o telescópio:
Portanto esta série também converge e sua soma é 1.
Passo 6
Concluímos pela linearidade das somas que a série original é a soma das duas séries que já analisamos. Ambas convergem (cada uma com termos positivos), logo a série original converge. A soma total é