Calcule a soma da série
\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{(4 k-1)(4 k+3)}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma da série infinita
\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{(4k-1)(4k+3)}.
O conteúdo principal é usar decomposição em frações parciais e, em seguida, observar um efeito telescópico na soma parcial.

Passo 2

Fazemos a decomposição em frações parciais de
\frac{1}{(4k-1)(4k+3)} = \frac{A}{4k-1} + \frac{B}{4k+3}.
Multiplicando ambos os lados por (4k-1)(4k+3), obtemos
1 = A(4k+3) + B(4k-1) = (4A+4B)k + (3A - B).
Para que isso seja verdade para todo k, igualamos coeficientes:
4(A+B)=0 e 3A - B=1. Daí B=-A e 4A=1, logo
A = \tfrac14,\quad B = -\tfrac14.
Portanto
\frac{1}{(4k-1)(4k+3)} = \frac{1}{4}\Bigl(\frac{1}{4k-1} - \frac{1}{4k+3}\Bigr).

Passo 3

Considere a soma parcial até N:
S_N = \sum_{k=1}^{N}\frac{1}{(4k-1)(4k+3)} = \frac{1}{4}\sum_{k=1}^{N}\Bigl(\frac{1}{4k-1} - \frac{1}{4k+3}\Bigr).
Note que ao expandir vemos o cancelamento telescópico:
\frac{1}{3}-\frac{1}{7} +\frac{1}{7}-\frac{1}{11} +\cdots +\frac{1}{4N-1}-\frac{1}{4N+3} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4N+3}.
Logo
S_N = \frac{1}{4}\Bigl(\frac{1}{3} - \frac{1}{4N+3}\Bigr).

Passo 4

Fazendo N\to\infty, o termo \frac{1}{4N+3} tende a zero, logo a soma da série é
\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{(4k-1)(4k+3)} = \lim_{N\to\infty}S_N = \frac{1}{4}\cdot\frac{1}{3} = \frac{1}{12}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{12}

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