Responda as questões de 1 a 4 encontrando a alternativa correta e marque a resposta encontrada no gabarito que está no verso desta página. Só será considerado o gabarito.
Considere o seguinte problema de contorno:
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime \prime}+4 y=0 \\\ y(0)=-2, y\left(\frac{\pi}{2}\right)=2 \end{array}\right.
Assinale a alternativa correta:
a) Existem infinitas soluções
b) Existe só uma solução não nula
c) A única solução é a função nula
d) Não existe nenhuma solução
e) Existem 2 soluções não nulas, y=\operatorname{sen} 2 x e y= cos 2 x.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de contorno
\begin{cases} y'' + 4y = 0,\\\ y(0) = -2,\\\ y\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) = 2, \end{cases}
que envolve equações diferenciais lineares de segunda ordem com condições em dois pontos. Vamos precisar achar a solução geral da equação homogênea e depois impor as duas condições de contorno.

Passo 2

A equação característica de
y'' + 4y = 0
é
r^2 + 4 = 0,
cuja raízes são
r = \pm 2i.
Portanto, a solução geral é
y(x) = A\cos(2x) + B\sin(2x),
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 3

Impondo y(0) = -2, temos
y(0) = A\cos(0) + B\sin(0) = A = -2.
Logo
A = -2.

Passo 4

Impondo y\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) = 2, substituímos na solução:
y\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) = -2\cos\bigl(2\cdot\tfrac{\pi}{2}\bigr) + B\sin\bigl(2\cdot\tfrac{\pi}{2}\bigr) = -2\cos(\pi) + B\sin(\pi) = -2\cdot(-1) + B\cdot 0 = 2.
Essa igualdade já está satisfeita para qualquer valor de B. Ou seja, não há restrição sobre B.

Passo 5

Como sobra o parâmetro B livre, existem infinitas soluções do tipo
y(x) = -2\cos(2x) + B\sin(2x),
todas elas satisfazendo as duas condições de contorno.

Resposta

a) Existem infinitas soluções.

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