Responda as questões de 1 a 4 encontrando a alternativa correta e marque a resposta encontrada no gabarito que está no verso desta página. Só será considerado o gabarito.
Considere o seguinte problema de contorno:
Assinale a alternativa correta:
a) Existem infinitas soluções
b) Existe só uma solução não nula
c) A única solução é a função nula
d) Não existe nenhuma solução
e) Existem 2 soluções não nulas, y=\operatorname{sen} 2 x e y=cos 2 x.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de contorno
que envolve equações diferenciais lineares de segunda ordem com condições em dois pontos. Vamos precisar achar a solução geral da equação homogênea e depois impor as duas condições de contorno.
Passo 2
A equação característica de
y'' + 4y = 0
é
r^2 + 4 = 0,
cuja raízes são
r = \pm 2i.
Portanto, a solução geral é
y(x) = A\cos(2x) + B\sin(2x),
onde A e B são constantes a determinar.
Passo 3
Impondo y(0) = -2, temos
y(0) = A\cos(0) + B\sin(0) = A = -2.
Logo
A = -2.
Passo 4
Impondo y\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) = 2, substituímos na solução: