Calcule a soma da série
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a série infinita
O conteúdo aqui é reconhecimento de uma série telescópica, ou seja, uma série cujos termos se cancelam em somatório parcial.
Passo 2
Para identificar o telescópio, fazemos a decomposição em frações parciais de
Procuramos
e
tais que
Multiplicando por
obtemos
Igualando coeficientes em
e termo independente dá
Logo
Passo 3
Definimos a soma parcial até
:
Expandindo alguns termos:
Quase tudo cancela, sobrando
Passo 4
Para obter a soma da série, tomamos o limite quando
:
Resposta
A soma da série é
.