Calcule a soma da série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(n-1)}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a série infinita
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n(n-1)}.
O conteúdo aqui é reconhecimento de uma série telescópica, ou seja, uma série cujos termos se cancelam em somatório parcial.

Passo 2

Para identificar o telescópio, fazemos a decomposição em frações parciais de
\frac{1}{n(n-1)}.
Procuramos A e B tais que
\frac{1}{n(n-1)} = \frac{A}{n-1} + \frac{B}{n}.
Multiplicando por n(n-1) obtemos
1 = A\,n + B\,(n-1).
Igualando coeficientes em n e termo independente dá
A + B = 0,\quad -B = 1 \quad\Longrightarrow\quad A=1,\;B=-1.
Logo
\frac{1}{n(n-1)} = \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}.

Passo 3

Definimos a soma parcial até N:
S_{N} = \sum_{n=2}^{N}\frac{1}{n(n-1)} = \sum_{n=2}^{N}\Bigl(\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}\Bigr).
Expandindo alguns termos:
S_{N} = \bigl(1 - \tfrac12\bigr) + \bigl(\tfrac12 - \tfrac13\bigr) + \bigl(\tfrac13 - \tfrac14\bigr) + \cdots + \bigl(\tfrac{1}{N-1} - \tfrac{1}{N}\bigr).
Quase tudo cancela, sobrando
S_{N} = 1 - \frac{1}{N}.

Passo 4

Para obter a soma da série, tomamos o limite quando N\to\infty:
\lim_{N\to\infty}S_{N} = \lim_{N\to\infty}\Bigl(1 - \frac{1}{N}\Bigr) = 1 - 0 = 1.

Resposta

A soma da série é 1.

Exercícios relacionados