Responda as questões de 1 a 4 encontrando a alternativa correta e marque a resposta encontrada no gabarito que está no verso desta página. Só será considerado o gabarito.
Para quais valores de \lambda) o problema abaixo admite solução diferente da solução nula? \[\left\{\begin{array}{l} y^{\prime \prime}+\lambda y=0 \\\ y^{\prime}(0)=0, y^{\prime}(10)=0 \end{array}\right.\] a) \(\lambda=\frac{n \pi}{10}, n=1,2,3, \ldots;
b) \lambda=0, e \lambda=\frac{n \pi}{10}, n=1,2,3, \ldots;
c) \lambda=\frac{n^{2} \pi^{2}}{100}, n=1,2,3, \ldots;
d) \lambda=0, e \lambda=\frac{n^{2} \pi^{2}}{100}, n=1,2,3, \ldots;
e) \lambda=0, e \lambda=n^{2}, n=1,2,3, \ldots😉

Passo 1

O problema é
\begin{cases} y'' + \lambda y = 0,\\\ y'(0)=0,\;y'(10)=0, \end{cases}
e queremos valores de \lambda que admitam solução não trivial. Isso é um problema de autovalores para condições de Neumann num intervalo de comprimento 10.

Passo 2

Considere \lambda<0. Escreva \lambda=-\mu^2 com \mu>0. A solução geral é
y(x)=A e^{\mu x}+B e^{-\mu x},
então
y'(x)=\mu\bigl(A e^{\mu x}-B e^{-\mu x}\bigr).
Da condição y'(0)=0 vem A=B. Logo
y'(10)=\mu\,A\bigl(e^{10\mu}-e^{-10\mu}\bigr) =2\mu A\operatorname{sinh}(10\mu)=0,
e como \operatorname{sinh}(10\mu)\neq0 e \mu\neq0, deve A=0, levando à solução trivial. Portanto não há autovalores negativos.

Passo 3

Considere \lambda=0. A equação reduz a
y''=0\quad\Longrightarrow\quad y(x)=Ax+B,
com
y'(x)=A.
As condições y'(0)=0 e y'(10)=0 dão A=0, mas B pode ser qualquer constante. Assim há solução não trivial constante para \lambda=0.

Passo 4

Considere \lambda>0. Escreva \lambda=k^2 com k>0. A solução geral é
y(x)=A\cos(kx)+B\sin(kx),
logo
y'(x)=-Ak\sin(kx)+Bk\cos(kx).
Da condição y'(0)=0 vem Bk=0, logo B=0. Sobra
y(x)=A\cos(kx), \quad y'(10)=-Ak\sin(10k)=0.
Para A\neq0 é preciso \sin(10k)=0, ou seja
10k=n\pi,\quad n=1,2,3,\dots \quad\Longrightarrow\quad k=\frac{n\pi}{10},
e daí
\lambda=k^2=\frac{n^2\pi^2}{100},\quad n=1,2,3,\dots

Passo 5

Concluímos que existem soluções não triviais exatamente para
\lambda=0 \quad\text{e}\quad \lambda=\frac{n^2\pi^2}{100},\;n=1,2,3,\dots

Resposta

d) \lambda=0, e \lambda=\frac{n^{2}\pi^{2}}{100},\,n=1,2,3,\ldots.

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