Mostre que, se \mathrm{x}_{1} e \mathrm{x}_{2} são racionais e \mathrm{x}_{1}<\mathrm{x}_{2}, então existe um racional x tal que \mathrm{x}_{1}<\mathrm{x}<\mathrm{x}_{2}. (Valor: 1,0)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dados dois números racionais x_1 e x_2 com x_1<x_2, existe um racional x tal que
x_1 < x < x_2.
O conteúdo aqui é a densidade dos números racionais: usaremos que as operações de soma e de divisão por inteiro preservam a racionalidade.

Passo 2

Definimos
x = \frac{x_1 + x_2}{2}.
Como x_1\in\mathbb{Q} e x_2\in\mathbb{Q}, e como \tfrac12\in\mathbb{Q}, conclui-se que x\in\mathbb{Q}.

Passo 3

Para verificar que x fica estritamente entre x_1 e x_2, note-se:
x - x_1 = \frac{x_2 - x_1}{2} > 0,
x_2 - x = \frac{x_2 - x_1}{2} > 0.
Portanto x_1 < x e x < x_2.

Resposta

Basta escolher
x = \frac{x_1 + x_2}{2},
que é racional e satisfaz x_1 < x < x_2.

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