Calcule a soma da série:
Dica: use propriedades de logaritmos para escrever como diferença.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a soma
Ou seja, preciso determinar se essa série infinita converge e, se convergir, encontrar o seu valor. As informações dadas são apenas os termos da série, para
.
Passo 2
Usar uma propriedade básica dos logaritmos: para quaisquer números positivos
e
vale
Cada termo da série tem forma
, com
(então os argumentos são positivos), logo podemos reescrever cada termo como diferença:
Passo 3
Defino a soma parcial de ordem
:
Agora vou expandir explicitamente os primeiros termos para ver o padrão (isso é a técnica do telescópio):
Note que muitos termos se cancelam:
aparece com sinal
no primeiro parêntese e com sinal
no segundo;
aparece com
e depois com
, e assim por diante. Após o cancelamento de todos os termos intermediários resta apenas
Como
, segue
Esse passo mostra que a soma parcial tem uma forma simples: é o logaritmo do último índice somado mais um.
Passo 4
Para decidir se a série infinita converge, calculo o limite das somas parciais quando
:
Agora preciso avaliar esse limite. A função
é crescente e indefinidamente crescente quando
: para qualquer número real
existe um
suficientemente grande tal que
(por exemplo, basta tomar
). Assim, conforme
cresce sem limite,
também cresce sem limite. Logo
Passo 5
Do passo anterior segue que as somas parciais
não tendem a um número finito, mas sim divergem para
. Portanto a série original não converge para um valor finito: ela diverge.
Passo 6
Interpretação final e intuição numérica rápida: os primeiros valores das somas parciais são
e esses valores continuam crescendo sem limite conforme
aumenta. Isso confirma a conclusão teórica.