Calcule a soma da série:
\sum_{n=1}^{\infty} \ln \left(\frac{n+1}{n}\right)
Dica: use propriedades de logaritmos para escrever como diferença.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma
\sum_{n=1}^{\infty} \ln\!\left(\frac{n+1}{n}\right).
Ou seja, preciso determinar se essa série infinita converge e, se convergir, encontrar o seu valor. As informações dadas são apenas os termos da série, para n=1,2,3,\dots.

Passo 2

Usar uma propriedade básica dos logaritmos: para quaisquer números positivos a e b vale
\ln\!\left(\frac{a}{b}\right)=\ln a - \ln b.
Cada termo da série tem forma \ln\!\left(\dfrac{n+1}{n}\right), com n\ge 1 (então os argumentos são positivos), logo podemos reescrever cada termo como diferença:
\ln\!\left(\frac{n+1}{n}\right)=\ln(n+1)-\ln n.

Passo 3

Defino a soma parcial de ordem N:
S_N=\sum_{n=1}^{N}\ln\!\left(\frac{n+1}{n}\right)=\sum_{n=1}^{N}\big(\ln(n+1)-\ln n\big).
Agora vou expandir explicitamente os primeiros termos para ver o padrão (isso é a técnica do telescópio):
S_N=(\ln 2-\ln 1)+(\ln 3-\ln 2)+(\ln 4-\ln 3)+\cdots+(\ln(N+1)-\ln N).
Note que muitos termos se cancelam: \ln 2 aparece com sinal + no primeiro parêntese e com sinal - no segundo; \ln 3 aparece com + e depois com -, e assim por diante. Após o cancelamento de todos os termos intermediários resta apenas
S_N=\ln(N+1)-\ln 1.
Como \ln 1=0, segue
S_N=\ln(N+1).
Esse passo mostra que a soma parcial tem uma forma simples: é o logaritmo do último índice somado mais um.

Passo 4

Para decidir se a série infinita converge, calculo o limite das somas parciais quando N\to\infty:
\lim_{N\to\infty} S_N=\lim_{N\to\infty}\ln(N+1).
Agora preciso avaliar esse limite. A função \ln x é crescente e indefinidamente crescente quando x\to\infty: para qualquer número real M existe um x suficientemente grande tal que \ln x>M (por exemplo, basta tomar x=e^{M}). Assim, conforme N cresce sem limite, \ln(N+1) também cresce sem limite. Logo
\lim_{N\to\infty}\ln(N+1)=+\infty.

Passo 5

Do passo anterior segue que as somas parciais S_N não tendem a um número finito, mas sim divergem para +\infty. Portanto a série original não converge para um valor finito: ela diverge.

Passo 6

Interpretação final e intuição numérica rápida: os primeiros valores das somas parciais são
S_1=\ln 2\approx0{,}693,\quad S_2=\ln 3\approx1{,}099,\quad S_3=\ln 4\approx1{,}386,\quad S_{10}=\ln 11\approx2{,}398,
e esses valores continuam crescendo sem limite conforme N aumenta. Isso confirma a conclusão teórica.

Resposta

+\infty

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