Calcule a soma da série:
\sum_{n=1}^{\infty} \ln \left(\frac{n^{2}+1}{2 n^{2}+1}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma da série
\sum_{n=1}^{\infty}\ln\!\Bigl(\frac{n^{2}+1}{2n^{2}+1}\Bigr).
O conteúdo utilizado será o teste de divergência de séries: para que uma série \sum a_{n} converja, é necessário que a_{n}\to0 quando n\to\infty.

Passo 2

Seja
a_{n}=\ln\!\Bigl(\frac{n^{2}+1}{2n^{2}+1}\Bigr).
Para grandes n, temos n^{2}+1\sim n^{2} e 2n^{2}+1\sim2n^{2}. Logo,
\lim_{n\to\infty}a_{n} =\lim_{n\to\infty}\ln\!\Bigl(\frac{n^{2}(1+1/n^{2})}{2n^{2}(1+1/(2n^{2}))}\Bigr) =\ln\!\Bigl(\frac{1}{2}\Bigr) =-\ln2\neq0.

Passo 3

Como \lim_{n\to\infty}a_{n}=-\ln2\neq0, pelo teste de divergência a série
\sum a_{n} não pode convergir.

Passo 4

Adicionalmente, para n grande a_{n}\approx-\ln2<0, de modo que as somas parciais tendem a -\infty.

Resposta

A série diverge, mais precisamente tende a -\infty.

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