Certa rede comercial fez uma pesquisa para saber quais os tipos de calçados mais usados pela população da cidade em que pretendia instalar uma loja. Das pessoas ouvidas, um terço usa mais sandálias, um quarto usa mais tênis, um quinto usa mais sapato e as 65 restantes usam mais outros tipos de calçados. Com base nesses dados, pode-se afirmar que o número de pessoas ouvidas nessa pesquisa foi:
\bigcirc a) 240
\bigcirc b) 300
\bigcirc c) 360
\bigcirc d) 420
\bigcirc e) 480

Passo 1

O enunciado dá uma pesquisa com um total desconhecido de pessoas; vamos chamar esse total de N. As informações fornecidas são:
\text{Um terço usa sandálias} \Rightarrow \frac{1}{3}N,çá
\text{Um quarto usa tênis} \Rightarrow \frac{1}{4}N,ê
\text{Um quinto usa sapato} \Rightarrow \frac{1}{5}N,
e as restantes são 65 pessoas (essas 65 são explicitamente o número que sobrou após contar os três grupos acima). A pergunta é: qual é o valor de N (entre as opções dadas)?

Passo 2

Interpretando: a soma das três parcelas (sandálias, tênis, sapato) mais as 65 pessoas restantes deve ser igual ao total N. Em forma de equação isso fica:
\frac{1}{3}N + \frac{1}{4}N + \frac{1}{5}N + 65 = N.
Esse é o ponto de partida para resolver N.

Passo 3

Para somar as frações \dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{4} e \dfrac{1}{5} é útil colocar em denominador comum. O mínimo múltiplo comum de 3, 4 e 5 é 60. Convertemos cada fração para denominador 60:
\frac{1}{3} = \frac{20}{60},\qquad \frac{1}{4} = \frac{15}{60},\qquad \frac{1}{5} = \frac{12}{60}.
Somando as três frações obtemos:
\frac{20}{60}+\frac{15}{60}+\frac{12}{60}=\frac{20+15+12}{60}=\frac{47}{60}.
Portanto as parcelas somam \dfrac{47}{60}N.

Passo 4

Substituindo essa soma na equação inicial temos:
\frac{47}{60}N + 65 = N.
Agora resolvemos essa equação linear para N.

Passo 5

Isolando N: subtraímos \dfrac{47}{60}N dos dois lados:
65 = N - \frac{47}{60}N = \left(1-\frac{47}{60}\right)N.
Calculamos 1-\dfrac{47}{60}=\dfrac{60-47}{60}=\dfrac{13}{60}. Assim:
65 = \frac{13}{60}N.

Passo 6

Para encontrar N multiplicamos ambos os lados pelo recíproco de \dfrac{13}{60}, que é \dfrac{60}{13}:
N = 65 \cdot \frac{60}{13}.
Podemos simplificar \dfrac{65}{13}=5, então
N = 5\cdot 60.
Portanto N = 300.

Passo 7

Checagem rápida (para ganhar confiança): se N=300 então
\frac{1}{3}N=100,\quad \frac{1}{4}N=75,\quad \frac{1}{5}N=60.
Somando essas parcelas: 100+75+60=235. Acrescentando as 65 restantes dá 235+65=300, que é exatamente o total, logo está consistente.

Resposta

b) 300

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