Certa rede comercial fez uma pesquisa para saber quais os tipos de calçados mais usados pela população da cidade em que pretendia instalar uma loja. Das pessoas ouvidas, um terço usa mais sandálias, um quarto usa mais tênis, um quinto usa mais sapato e as 65 restantes usam mais outros tipos de calçados. Com base nesses dados, pode-se afirmar que o número de pessoas ouvidas nessa pesquisa foi:
a) 240
b) 300
c) 360
d) 420
e) 480
Passo 1
O enunciado dá uma pesquisa com um total desconhecido de pessoas; vamos chamar esse total de
. As informações fornecidas são:
e as restantes são
pessoas (essas
são explicitamente o número que sobrou após contar os três grupos acima). A pergunta é: qual é o valor de
(entre as opções dadas)?
Passo 2
Interpretando: a soma das três parcelas (sandálias, tênis, sapato) mais as
pessoas restantes deve ser igual ao total
. Em forma de equação isso fica:
Esse é o ponto de partida para resolver
.
Passo 3
Para somar as frações
,
e
é útil colocar em denominador comum. O mínimo múltiplo comum de
,
e
é
. Convertemos cada fração para denominador
:
Somando as três frações obtemos:
Portanto as parcelas somam
.
Passo 4
Substituindo essa soma na equação inicial temos:
Agora resolvemos essa equação linear para
.
Passo 5
Isolando
: subtraímos
dos dois lados:
Calculamos
. Assim:
Passo 6
Para encontrar
multiplicamos ambos os lados pelo recíproco de
, que é
:
Podemos simplificar
, então
Portanto
.
Passo 7
Checagem rápida (para ganhar confiança): se
então
Somando essas parcelas:
. Acrescentando as
restantes dá
, que é exatamente o total, logo está consistente.
Resposta
b) 300