Considere que, em certa indústria, o volume mensal de produção de cada operário esteja relacionado com tempo de trabalho, através da função \mathrm{P}(\mathrm{x})=96 \mathrm{~V} x sendo x o número de horas trabalhadas \mathrm{e} \mathrm{P}(\mathrm{x}) o número de unidades produzidas pelo operário naquele mês. A taxa segunda a qual a produção mensal estará crescendo em x = 144 , isto é, na 144{ }^{\text {a }} hora de trabalho do mês, é igual a:
\bigcirc a) 8 unidades
\bigcirc b) 4 unidades
\bigcirc c) 12 unidades
\bigcirc d) 1152 unidades
\bigcirc e) 16 unidades

Passo 1

Enunciado e o que se pede. O enunciado dá que a produção mensal por operário depende do número de horas trabalhadas x segundo a função indicada como \mathrm{P}(\mathrm{x})=96\\ V\\ x. Foi dito que x é o número de horas trabalhadas e que \mathrm{P}(x) é o número de unidades produzidas no mês. A pergunta é: qual é a taxa à qual a produção mensal está crescendo em x=144, isto é, qual é \mathrm{P}'(144)? As alternativas são: (a) 8 unidades, (b) 4 unidades, (c) 12 unidades, (d) 1152 unidades, (e) 16 unidades.
Observação sobre a notação: no enunciado aparece o símbolo V entre 96 e x. Vou interpretar esse V como o símbolo de raiz quadrada (radical), ou seja, a função é
\mathrm{P}(x)=96\sqrt{x}.
Se essa interpretação estiver incorreta o resultado muda, mas essa é a interpretação mais provável do enunciado tal como foi escrito.

Passo 2

O que significa calcular a “taxa de crescimento” em um ponto. A taxa instantânea de variação da produção em x (em unidades por hora) é justamente a derivada \mathrm{P}'(x). Formalmente:
\mathrm{P}'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{\mathrm{P}(x+h)-\mathrm{P}(x)}{h},
que dá a inclinação da reta tangente ao gráfico em x. Na prática para funções elementares usamos regras de diferenciação (mais eficientes do que calcular o limite toda vez). A unidade da derivada aqui é “unidades produzidas por hora”.

Passo 3

Reescrever a função numa forma que facilita a derivação. Usamos a igualdade \sqrt{x}=x^{1/2}. Então a função fica
\mathrm{P}(x)=96\sqrt{x}=96x^{1/2}.
Explicação das variáveis: x é número de horas (variável independente) e \mathrm{P}(x) é número de unidades produzidas (variável dependente).

Passo 4

Regra que vamos usar (Regra do poder / power rule). Para qualquer expoente real n,
\frac{d}{dx}\big(x^{n}\big)=n x^{n-1}.
Isso significa: para derivar, você desce o expoente multiplicando pela constante e depois diminui o expoente em 1. Exemplo simples: \dfrac{d}{dx}(x^3)=3x^2.

Passo 5

Aplicar a regra do poder à nossa função. Temos um coeficiente constante 96 multiplicando x^{1/2}, então
\mathrm{P}'(x)=96\cdot\frac{d}{dx}\big(x^{1/2}\big)=96\cdot\left(\tfrac{1}{2}x^{-1/2}\right).
Multiplicando os coeficientes:
\mathrm{P}'(x)=48\,x^{-1/2}.
Volto para a forma de raiz para ficar mais intuitivo:
\mathrm{P}'(x)=\frac{48}{\sqrt{x}}.

Passo 6

Avaliar a derivada em x=144. Primeiro calcule a raiz:
\sqrt{144}=12.
Agora substituímos em \mathrm{P}'(x):
\mathrm{P}'(144)=\frac{48}{\sqrt{144}}=\frac{48}{12}=4.
Faça a conta mental: 48\div 12=4.

Passo 7

Interpretação do resultado e ligação com as alternativas. O valor \mathrm{P}'(144)=4 significa que na 144^{\text{a}} hora a produção está aumentando a uma taxa de 4 unidades por hora. Isso corresponde à alternativa (b) 4 unidades.
Dica rápida para prova: sempre procure reescrever raízes como potências fracionárias x^{1/2} e aplicar a regra do poder; para avaliar, memorizando quadrados perfeitos (como 144=12^2) você economiza tempo.

Resposta

b) 4 unidades

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