Considere que, em certa indústria, o volume mensal de produção de cada operário esteja relacionado com tempo de trabalho, através da função
x sendo x o número de horas trabalhadas
o número de unidades produzidas pelo operário naquele mês. A taxa segunda a qual a produção mensal estará crescendo em x = 144 , isto é, na
hora de trabalho do mês, é igual a:
a) 8 unidades
b) 4 unidades
c) 12 unidades
d) 1152 unidades
e) 16 unidades
Passo 1
Enunciado e o que se pede. O enunciado dá que a produção mensal por operário depende do número de horas trabalhadas
segundo a função indicada como
. Foi dito que
é o número de horas trabalhadas e que
é o número de unidades produzidas no mês. A pergunta é: qual é a taxa à qual a produção mensal está crescendo em
, isto é, qual é
? As alternativas são: (a)
unidades, (b)
unidades, (c)
unidades, (d)
unidades, (e)
unidades.
Observação sobre a notação: no enunciado aparece o símbolo
entre
e
. Vou interpretar esse
como o símbolo de raiz quadrada (radical), ou seja, a função é
Se essa interpretação estiver incorreta o resultado muda, mas essa é a interpretação mais provável do enunciado tal como foi escrito.
Passo 2
O que significa calcular a “taxa de crescimento” em um ponto. A taxa instantânea de variação da produção em
(em unidades por hora) é justamente a derivada
. Formalmente:
que dá a inclinação da reta tangente ao gráfico em
. Na prática para funções elementares usamos regras de diferenciação (mais eficientes do que calcular o limite toda vez). A unidade da derivada aqui é “unidades produzidas por hora”.
Passo 3
Reescrever a função numa forma que facilita a derivação. Usamos a igualdade
. Então a função fica
Explicação das variáveis:
é número de horas (variável independente) e
é número de unidades produzidas (variável dependente).
Passo 4
Regra que vamos usar (Regra do poder / power rule). Para qualquer expoente real
,
Isso significa: para derivar, você desce o expoente multiplicando pela constante e depois diminui o expoente em
. Exemplo simples:
.
Passo 5
Aplicar a regra do poder à nossa função. Temos um coeficiente constante
multiplicando
, então
Multiplicando os coeficientes:
Volto para a forma de raiz para ficar mais intuitivo:
Passo 6
Avaliar a derivada em
. Primeiro calcule a raiz:
Agora substituímos em
:
Faça a conta mental:
.
Passo 7
Interpretação do resultado e ligação com as alternativas. O valor
significa que na
hora a produção está aumentando a uma taxa de
unidades por hora. Isso corresponde à alternativa (b)
unidades.
Dica rápida para prova: sempre procure reescrever raízes como potências fracionárias
e aplicar a regra do poder; para avaliar, memorizando quadrados perfeitos (como
) você economiza tempo.
Resposta
b) 4 unidades