Calcule a soma da série
sumn=1^infty(1n(n+2)+13^n-1)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma da série
sumn=1^inftyl(1n(n+2)+13^n-1r)
O conteúdo envolve duas partes: uma série telescópica e uma série geométrica, que podemos somar separadamente.

Passo 2

Separemos a soma em duas séries:
sumn=1^infty1n(n+2) e sumn=1^infty13^n-1

Passo 3

Para a série telescópica, note que
1n(n+2) =12l(1n-1n+2r)
Então, somando de n=1 até N,
sumn=1^N1n(n+2) =12l((1+tfrac12)-l(tfrac1N+1+tfrac1N+2r)r)
Ao fazer Ntoinfty, os termos tfrac1N+1 e tfrac1N+2 vão a zero, ficando
sumn=1^infty1n(n+2) =12l(1+tfrac12r) =34

Passo 4

Para a série geométrica, reescreva o índice:
sumn=1^infty13^n-1 =sumk=0^infty13^k
(com k=n-1), que é geométrica de primeiro termo 1 e razão tfrac13. Logo,
sumk=0^infty13^k =11-tfrac13 =32

Passo 5

Agora basta somar os resultados das duas partes:
34+32 =34+64 =94

Resposta

94

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