Calcule a derivada da função u=x^2-3 y z+5 no ponto M=(1,2,-1) na direção formando três ângulos iguais com os eixos de coordenadas.

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional da função
u(x,y,z) = x^2 - 3yz + 5
no ponto M=(1,2,-1) na direção que forma ângulos iguais com os eixos x, y e z. O conteúdo aqui é derivada direcional em R^3, que se calcula como produto escalar entre o gradiente de u e o vetor unitário da direção desejada.

Passo 2

Vamos encontrar o gradiente de u. Por definição,
nabla u(x,y,z) = l(partial upartial x,,partial upartial y,,partial upartial zr)
Como u(x,y,z)=x^2-3yz+5, temos
partial upartial x=2x,
partial upartial y=-3z,
partial upartial z=-3y.

Passo 3

Avaliamo o gradiente em M=(1,2,-1):
nabla u(1,2,-1) = l(2cdot1,;-3cdot(-1),;-3cdot2r) = (2,,3,,-6)

Passo 4

A direção que forma ângulos iguais com os três eixos tem vetor diretor proporcial a (1,1,1). Para obter o vetor unitário e, normalizamos:
e = 1raiz1^2+1^2+1^2(1,1,1) = 1raiz3(1,1,1)

Passo 5

A derivada direcional de u em M na direção e é
Deu(1,2,-1) = nabla u(1,2,-1)cdote = (2,3,-6)cdot1raiz3(1,1,1) = 2+3-6raiz3 = -1raiz3

Resposta

Deu(1,2,-1) = -1raiz3

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