Mostre que a função
(com
constantes) satisfaz à equação da transmissão de calor
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede para mostrar que ela satisfaz a equação da transmissão de calor em
:
O conteúdo é aplicação de derivadas parciais (regra da cadeia) para verificar a equação de difusão (heat equation).
Passo 2
Para simplificar, definimos
Assim
Passo 3
Cálculo de
. Usando a regra do produto e da cadeia,
Como
, tem-se
. Logo
Passo 4
Cálculo da segunda derivada em
(e analogamente em
). Primeiro
Depois
Somando as três direções,
Passo 5
Multiplicando a laplaciana por
,
Observamos que isso coincide exatamente com o resultado do Passo 3.
Resposta
A função
satisfaz
ou seja, é solução da equação da transmissão de calor.