Mostre que a função
u(x, y, z, t)=1(2 a raizpi t)^3 e^-(x-x0)^2+(y-y0)^2+(z-z0)^24 a^2 t
(com x0, y0, z0, a constantes) satisfaz à equação da transmissão de calor
partial upartial t=a^2(partial^2 upartial^2 x+partial^2 upartial^2 y+partial^2 upartial^2 z)

Passo 1

O enunciado nos dá a função
u(x,y,z,t)=1(2araizpi t)^3exp!l(-(x-x0)^2+(y-y0)^2+(z-z0)^24a^2tr)
e pede para mostrar que ela satisfaz a equação da transmissão de calor em R^3:
partial upartial t = a^2l(partial^2upartial x^2+partial^2upartial y^2+partial^2upartial z^2r)
O conteúdo é aplicação de derivadas parciais (regra da cadeia) para verificar a equação de difusão (heat equation).

Passo 2

Para simplificar, definimos
R^2=(x-x0)^2+(y-y0)^2+(z-z0)^2, B(t)=(2araizpi t)^3
Assim
u(x,y,z,t)=1B(t)exp!l(-R^24a^2tr)

Passo 3

Cálculo de partial u/partial t. Usando a regra do produto e da cadeia,
ddtl(tfrac1B(t)r)=-B'(t)B(t)^2 e ddtl(-R^24a^2tr) =R^24a^2t^2
Como B(t)=(2araizpi)^3t^3/2, tem-se B'(t)/B(t)=tfrac32t. Logo
partial upartial t =;ul(-tfrac32t+tfracR^24a^2t^2r)

Passo 4

Cálculo da segunda derivada em x (e analogamente em y,z). Primeiro
partial upartial x =ucdotpartialpartial xl(-R^24a^2tr) =ul(-x-x02a^2tr)
Depois
partial^2upartial x^2 =partialpartial xl[ul(-tfracx-x02a^2tr)r] =ul(tfrac(x-x0)^24a^4t^2-tfrac12a^2tr)
Somando as três direções,
De<a u =sumv=x,y,zpartial^2upartial v^2 =ul(R^24a^4t^2-32a^2tr)

Passo 5

Multiplicando a laplaciana por a^2,
a^2,De<a u =ul(R^24a^2t^2-32tr) ;=;partial upartial t
Observamos que isso coincide exatamente com o resultado do Passo 3.

Resposta

A função u(x,y,z,t) satisfaz
partial upartial t = a^2l(uxx+uyy+uzzr),
ou seja, é solução da equação da transmissão de calor.

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