Mostre que a função
w=y phi(x^2-y^2)
satisfaz à equação
1x partial wpartial x+1y partial wpartial y=wy^2

Passo 1

Temos a função
w = y,phil(x^2-y^2r)
e queremos mostrar que ela satisfaz à equação
1xpartial wpartial x+1ypartial wpartial y=wy^2
Vamos usar a regra da cadeia para calcular partial w/partial x e partial w/partial y e então comparar os dois lados da igualdade.

Passo 2

Defina u = x^2-y^2. Então w = y,phi(u). Para partial w/partial x, temos primeiro
partial upartial x = 2x
Pela regra do produto e da cadeia:
partial wpartial x = y,phi'(u),partial upartial x = y,phi'(u),(2x) = 2x,y,phi'l(x^2-y^2r)

Passo 3

Para partial w/partial y, calculamos
partial upartial y = -2y
Aplicando a regra do produto e da cadeia:
partial wpartial y = phi(u) + y,phi'(u),partial upartial y = phi(u) + y,phi'(u),(-2y) = phil(x^2-y^2r) - 2y^2,phi'l(x^2-y^2r)

Passo 4

Agora montamos o lado esquerdo da equação:
1xpartial wpartial x + 1ypartial wpartial y = 1xl(2x,y,phi'(u)r) + 1yl(phi(u)-2y^2phi'(u)r) = 2y,phi'(u) + 1yphi(u) - 2y,phi'(u) = 1y,phil(x^2-y^2r)

Passo 5

O lado direito é
wy^2 = y,phil(x^2-y^2r)y^2 = 1y,phil(x^2-y^2r),
que coincide exatamente com o lado esquerdo.

Resposta

A função w=y,phi(x^2-y^2) satisfaz a equação
1xpartial wpartial x+1ypartial wpartial y=wy^2

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