Calcule a soma das séries identificando a função para a qual a série converge, e o respectivo intervalo de convergência:
sumn=1^infty x^nn

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma da série de potências sumn=1^infty x^nn, identificando a função geradora e o intervalo de convergência. O conteúdo é séries de potências e vamos usar séries geométricas e integração term a term.

Passo 2

Começamos lembrando da série geométrica básica:
sumn=0^infty x^n = 11 - x, |x|<1
Integrando ambos os lados de 0 até x, podemos trocar a soma e a integral (já que converge uniformemente em qualquer compacto de |x|<1):
integral0^x sumn=0^infty t^n ,dt = sumn=0^infty integral0^x t^n ,dt
No lado esquerdo temos
integral0^x 11 - t ,dt = -ln(1 - x) + C
Como avaliamos de 0 até x, fica
$$
-\ln(1 - x) - \bigl(-\ln(1 - 0)\bigr) = -\ln(1 - x).
-ln(1 - x) - l(-ln(1 - 0)r) = -ln(1 - x) á\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n+1} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}.$$

Passo 3

Portanto concluímos que, para |x|<1,
sumn=1^infty x^nn = -ln(1 - x)

Passo 4

Para o raio de convergência, sabemos que a série geométrica converge se |x|<1. Assim o raio é R=1.
Analisando os extremos: em x=1 a série vira sum 1/n, que diverge; em x=-1 vira uma série alternada sum (-1)^n/n, que converge condicionalmente. Assim o intervalo de convergência é
-1 <= x < 1

Resposta

A série converge para a função f(x)= -ln(1 - x) com intervalo de convergência -1 <= x < 1.

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