Calcule a soma das séries identificando a função para a qual a série converge, e o respectivo intervalo de convergência:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a soma da série de potências
, identificando a função geradora e o intervalo de convergência. O conteúdo é séries de potências e vamos usar séries geométricas e integração term a term.
Passo 2
Começamos lembrando da série geométrica básica:
Integrando ambos os lados de 0 até
No lado esquerdo temos
Como avaliamos de 0 até
$$
-\ln(1 - x) - \bigl(-\ln(1 - 0)\bigr) = -\ln(1 - x).
Passo 3
Portanto concluímos que, para
,
Passo 4
Para o raio de convergência, sabemos que a série geométrica converge se
. Assim o raio é
.
Analisando os extremos: em a série vira
, que diverge; em
vira uma série alternada
, que converge condicionalmente. Assim o intervalo de convergência é
Analisando os extremos: em
Resposta
A série converge para a função
com intervalo de convergência
.