Determine as soluções das equações diferenciais de variáveis separáveis abaixo:

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial y' = x^2y,(1+x^3). O conteúdo principal é separação de variáveis, pois conseguimos escrever a derivada como um produto de função de y pela de x. Para resolver, vamos isolar y de um lado e x do outro e depois integrar.

Passo 2

Multiplicamos ambos os lados por y e por dx para separar variáveis:
y,dy = x^21+x^3,dx
Agora temos todas as y do lado esquerdo e todas as x do lado direito.

Passo 3

Integramos os dois lados. À esquerda, é direto:
integral y,dy = y^22 + C1
À direita, usamos a substituição u = 1 + x^3, daí du = 3x^2,dx e x^2,dx = du/3:
integral x^21+x^3,dx = integral 1ucdotdu3 = 13ln|u| + C2 = 13ln(1+x^3) + C2

Passo 4

Igualando as integrais e agrupando constantes, temos
y^22 = 13ln(1+x^3) + C
onde C = C2 - C1 é constante geral. Multiplicando por 2 e renomeando a constante, obtemos a solução implícita
y^2 = 23ln(1+x^3) + C
Podemos também escrever explicitamente:
y(x) = pmraiz23ln(1+x^3) + C

Resposta

A solução geral é
y^2 = 23ln(1+x^3) + C,
ou, equivalentemente,
y(x) = pmraiz23ln(1+x^3) + C,
onde C é constante arbitrária.

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