Divida f(x) por d(x) e reescreva a função como consequência do algoritmo da divisão e também como fração.
f(x)=x^3-1 ; d(x)=x+1

Passo 1

O enunciado pede para dividir o polinômio f(x)=x^3-1 por d(x)=x+1, usando o algoritmo da divisão de polinômios, e depois reescrever f(x) em duas formas: como produto mais resto e como fração.

Passo 2

Para aplicar o algoritmo de divisão sintética (mais rápido quando o divisor é da forma x - a), note que x+1= x - (-1). Listamos os coeficientes de f(x)=x^3+0x^2+0x-1:
  • Coeficientes iniciais: 1, 0, 0, -1
  • Divisor associado ao número -1.
    Agora fazemos a divisão sintética:
    Bring down 1. Multiply by -1: -1, add ao próximo: 0+(-1)=-1. Multiply por -1: 1, add ao próximo: 0+1=1. Multiply por -1: -1, add ao último: -1+(-1)=-2.
    Os resultados são coeficientes do quociente e o resto:
  • Quociente Q(x)=x^2 - x + 1
  • Resto R=-2

Passo 3

Pela definição do algoritmo da divisão de polinômios, temos
f(x)=d(x)cdot Q(x)+R
Substituindo,
x^3-1=(x+1)(x^2 - x + 1)-2

Passo 4

Para escrever como fração basta dividir ambos os lados por d(x):
f(x)d(x)=Q(x)+Rd(x)
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x^3-1x+1=x^2 - x + 1-2x+1

Resposta

Forma pelo algoritmo da divisão:
x^3-1=(x+1)(x^2 - x + 1)-2
Forma em fração:
x^3-1x+1=x^2 - x + 1-2x+1

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