Divida f(x) por d(x) e reescreva a função como consequência do algoritmo da divisão e também como fração.
f(x)=x^4-3 x^3+6 x^2-3 x+5 ; d(x)= x^2+1

Passo 1

Estamos com a função f(x)=x^4-3x^3+6x^2-3x+5 e queremos dividi-la por d(x)=x^2+1. O conteúdo aqui é divisão de polinômios, e vamos usar o algoritmo da divisão para encontrar quociente e resto.

Passo 2

Começamos dividindo o termo de maior grau de f(x) pelo de d(x): x^4div x^2=x^2. Multiplicamos o divisor pelo quociente parcial e subtraímos:
(x^2+1)cdot x^2 = x^4 + x^2
Subtraindo de f(x) ficamos com
(x^4 -3x^3 +6x^2 -3x +5) - (x^4 + x^2) = -3x^3 +5x^2 -3x +5

Passo 3

Agora repetimos: divida -3x^3 por x^2, obtendo (-3x). Multiplicamos e subtraímos:
(x^2+1)cdot(-3x) = -3x^3 -3x
Então
(-3x^3 +5x^2 -3x +5) - (-3x^3 -3x) = 5x^2 +0x +5 = 5x^2 +5

Passo 4

Em seguida, divida 5x^2 por x^2, que dá 5. Multiplicamos e subtraímos:
(x^2+1)cdot5 = 5x^2 +5
Logo
(5x^2 +5) - (5x^2 +5) = 0
O resto é zero.

Passo 5

Como o resto r(x)=0, o quociente final é q(x)=x^2 -3x +5. Pelo algoritmo da divisão polinomial temos
f(x)=d(x),q(x)+r(x) = (x^2+1)(x^2 -3x +5) + 0
E, escrevendo como fração,
f(x)d(x) = x^2 -3x +5

Resposta

Quociente: x^2 -3x +5, resto: 0. Assim f(x)=(x^2+1)(x^2 -3x +5) e f(x)/d(x)=x^2 -3x +5.

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