Calcule a soma das séries identificando a função para a qual a série converge, e o respectivo intervalo de convergência:
Passo 1
O enunciado dá a série
e pede duas coisas:
- identificar a função para a qual a série converge (quando converge);
- determinar o intervalo de convergência (valores de
para os quais a série converge).
Informações relevantes fornecidas: os termos gerais são
para
.
Passo 2
Reconhecer a forma: a série é uma série geométrica com razão
. Uma série geométrica padrão é
No nosso caso, cada termo é
. Portanto a razão é
Explicando devagar: a “razão” de uma série geométrica é o número que se eleva a
em cada termo; aqui isso é
.
Passo 3
Fórmula dos somatórios parciais da série geométrica (prova curta e útil na prova): seja
Multiplicando por
temos
Logo, para
,
Essa expressão é a soma parcial exata; a série infinita converge quando o limite
existe finito.
Passo 4
Critério de convergência da geométrica: como
exatamente quando
, a série geométrica converge se, e somente se,
. Se
então os termos não tendem a zero (ou
não vai a zero) e a série diverge.
Pequena intuição: para a soma infinita fazer sentido, os termos devem ficar cada vez menores; no caso de uma potência
, isso só ocorre quando
.
Passo 5
Aplicando ao nosso
: a condição de convergência é
Quando
, do passo anterior temos, passando ao limite
,
Aqui usei a fórmula do passo 3 e o fato de que
quando
.
Passo 6
Verificação nos extremos do intervalo
:
- Para
: a série fica , que é a sequência de somas parciais ; não há limite — a série não converge (oscila). Logo é excluído. - Para
: a série fica , cujos termos não tendem a zero e a soma parcial cresce sem limite; diverge. Logo é excluído.
Portanto os extremos não pertencem ao conjunto de convergência.
Passo 7
Resumo técnico sobre raio de convergência (útil na prova): como a série é uma série de potências com termo geral
onde
, aplica-se o teste da raiz:
A condição de convergência da série pela raiz é
, confirmando que o raio de convergência é
.
Resposta
Intervalo de convergência: