Calcule a soma das séries identificando a função para a qual a série converge, e o respectivo intervalo de convergência:
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} x^{n}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} x^{n}
e pede duas coisas:
  • identificar a função para a qual a série converge (quando converge);
  • determinar o intervalo de convergência (valores de x para os quais a série converge).
Informações relevantes fornecidas: os termos gerais são a_n(x)=(-1)^{n}x^{n} para n=0,1,2,\dots.

Passo 2

Reconhecer a forma: a série é uma série geométrica com razão r. Uma série geométrica padrão é
\sum_{n=0}^{\infty} r^{n} = 1 + r + r^{2} + \cdots.
No nosso caso, cada termo é (-1)^{n}x^{n}=( -x )^{n}. Portanto a razão é
r = -x.
Explicando devagar: a “razão” de uma série geométrica é o número que se eleva a n em cada termo; aqui isso é -x.

Passo 3

Fórmula dos somatórios parciais da série geométrica (prova curta e útil na prova): seja
S_{N}=\sum_{n=0}^{N} r^{n}=1+r+r^{2}+\cdots+r^{N}.
Multiplicando por (1-r) temos
(1-r)S_{N}=S_{N}-rS_{N}=1-r^{N+1}.
Logo, para r\neq 1,
S_{N}=\frac{1-r^{N+1}}{1-r}.
Essa expressão é a soma parcial exata; a série infinita converge quando o limite \lim_{N\to\infty}S_N existe finito.

Passo 4

Critério de convergência da geométrica: como \lim_{N\to\infty} r^{N+1}=0 exatamente quando |r|<1, a série geométrica converge se, e somente se, |r|<1. Se |r|\ge 1 então os termos não tendem a zero (ou r^{N+1} não vai a zero) e a série diverge.
Pequena intuição: para a soma infinita fazer sentido, os termos devem ficar cada vez menores; no caso de uma potência r^{n}, isso só ocorre quando |r|<1.

Passo 5

Aplicando ao nosso r=-x: a condição de convergência é
|r|<1 \quad\Longleftrightarrow\quad |-x|<1 \quad\Longleftrightarrow\quad |x|<1.
Quando |x|<1, do passo anterior temos, passando ao limite N\to\infty,
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}(-x)^{n}=\frac{1}{1-r}=\frac{1}{1-(-x)}=\frac{1}{1+x}.
Aqui usei a fórmula do passo 3 e o fato de que r^{N+1}\to 0 quando |r|<1.

Passo 6

Verificação nos extremos do intervalo |x|<1:
  • Para x=1: a série fica \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}, que é a sequência de somas parciais 1,0,1,0,\dots; não há limite — a série não converge (oscila). Logo x=1 é excluído.
  • Para x=-1: a série fica \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}(-1)^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}1, cujos termos não tendem a zero e a soma parcial cresce sem limite; diverge. Logo x=-1 é excluído.
Portanto os extremos não pertencem ao conjunto de convergência.

Passo 7

Resumo técnico sobre raio de convergência (útil na prova): como a série é uma série de potências com termo geral a_n x^n onde a_n=(-1)^n, aplica-se o teste da raiz:
\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n x^n|}=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|x|^{n}}=|x|.
A condição de convergência da série pela raiz é |x|<1, confirmando que o raio de convergência é R=1.

Resposta

\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{n}=\frac{1}{1+x} para |x|<1.
Intervalo de convergência: (-1,1).

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