Determine o intervalo de convergência das seguintes séries:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n x^{n}}{n!}

Passo 1

O enunciado dá a série e pede o intervalo de valores de x para os quais a série converge:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n x^{n}}{n!}.
Informações relevantes que temos:
  • O termo geral da série (dependente de n e de x) é a_n(x)=\dfrac{2 n x^{n}}{n!}.
  • A variável x é a incógnita cujo conjunto de valores (intervalo) a série pode convergir é o que devemos determinar.
  • A soma é sobre n=1,2,3,\dots.

Passo 2

Escolhendo um critério de convergência: uma maneira prática e direta para séries cujo termo envolve fatoriais é usar o teste da razão (d’Alembert). Vou enunciar o teste de forma clara:
\text{Defina }L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|.
  • Se L<1, a série converge absolutamente.
  • Se L>1, a série diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo.
Esse teste é apropriado aqui porque fatoriais têm crescimento muito rápido e a razão entre termos consecutivos costuma simplificar bem.

Passo 3

Calcular a razão entre termos consecutivos em valor absoluto. Tomando a_n=\dfrac{2 n x^{n}}{n!} temos
a_{n+1}=\frac{2 (n+1) x^{\,n+1}}{(n+1)!}.
Agora a razão:
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \frac{2 (n+1) |x|^{\,n+1}/(n+1)!}{2 n |x|^{\,n}/n!}.
Simplificando passo a passo (cancelando 2 e reescrevendo (n+1)!= (n+1)n!):
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \frac{(n+1)|x|^{\,n+1}}{(n+1)!}\cdot\frac{n!}{n|x|^{\,n}} = \frac{(n+1)|x|}{(n+1)n} = \frac{|x|}{n}.

Passo 4

Tomando o limite quando n\to\infty:
L=\lim_{n\to\infty}\frac{|x|}{n}=0.
Esse limite é 0 para todo x\in\mathbb{R}. Pelo teste da razão, como L<1, a série converge absolutamente para qualquer x real. Convergência absoluta implica convergência, logo a série converge para todos os x.

Passo 5

Comentário adicional (útil para a prova): podemos também escrever a série de forma que aparece uma soma conhecida, o que confirma a convergência e dá a soma fechada. Observe que
\frac{n}{n!}=\frac{1}{(n-1)!}\quad\text{para }n\ge 1,
portanto
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2 n x^{n}}{n!} =2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{(n-1)!}.
Fazendo a mudança de índice k=n-1 (então k=0,1,2,\dots):
2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{(n-1)!} =2\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{k+1}}{k!} =2x\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{k}}{k!} =2x e^{x}.
Isso mostra que a série converge para todos os x e sua soma é 2x e^{x}.

Resposta

(-\infty,\infty)

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