Determine o intervalo de convergência das seguintes séries: \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n x^{n}}{n!}
Passo 1
O enunciado dá a série e pede o intervalo de valores de x para os quais a série converge:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n x^{n}}{n!}.
Informações relevantes que temos:
O termo geral da série (dependente de n e de x) é a_n(x)=\dfrac{2 n x^{n}}{n!}.
A variável x é a incógnita cujo conjunto de valores (intervalo) a série pode convergir é o que devemos determinar.
A soma é sobre n=1,2,3,\dots.
Passo 2
Escolhendo um critério de convergência: uma maneira prática e direta para séries cujo termo envolve fatoriais é usar o teste da razão (d’Alembert). Vou enunciar o teste de forma clara:
Esse limite é 0 para todo x\in\mathbb{R}. Pelo teste da razão, como L<1, a série converge absolutamente para qualquer x real. Convergência absoluta implica convergência, logo a série converge para todos os x.
Passo 5
Comentário adicional (útil para a prova): podemos também escrever a série de forma que aparece uma soma conhecida, o que confirma a convergência e dá a soma fechada. Observe que