Determine a representação em série de potências das seguintes funções e identifique seu intervalo de convergência:
f(x)=\frac{x}{1+4 x}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Determinar a representação em série de potências de f(x)=\dfrac{x}{1+4x} (assumiremos a expansão centrada em 0, i.e. série de Maclaurin).
  • Identificar o intervalo de convergência dessa série.
Informação dada:
  • A função é f(x)=\dfrac{x}{1+4x}.

Passo 2

Primeiro vamos reescrever f(x) de forma que possamos usar a série geométrica básica. Observe que
f(x)=\frac{x}{1+4x}=x\cdot\frac{1}{1+4x}.
Agora escrevemos o denominador como 1-(-4x), isto é
\frac{1}{1+4x}=\frac{1}{1-(-4x)}.
Esta forma é útil porque conhecemos a expansão da série geométrica para \dfrac{1}{1-r}.

Passo 3

Lembrete importante (fórmula que vamos usar): para um número real (ou complexo) r com |r|<1, vale a série geométrica
\frac{1}{1-r}=\sum_{n=0}^{\infty} r^{n}.
Aqui r é a razão da progressão geométrica; a condição |r|<1 garante convergência da soma infinita. Exemplo rápido: com r=\tfrac{1}{2} tem-se \dfrac{1}{1-1/2}=2=\sum_{n=0}^\infty (1/2)^n.

Passo 4

Aplicando a fórmula com r=-4x (ou seja, substituindo r por -4x) obtemos, desde que |-4x|<1,
\frac{1}{1+4x}=\sum_{n=0}^{\infty}(-4x)^{n}.
A condição de convergência aqui é
|-4x|<1 \quad\Longleftrightarrow\quad |x|<\frac{1}{4}.

Passo 5

Multiplicamos a expansão acima por x para recuperar f(x):
f(x)=x\cdot\frac{1}{1+4x}=x\sum_{n=0}^{\infty}(-4x)^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}(-4)^{n}x^{n+1}.
É comum reindexar a soma para que o expoente de x seja n. Faça k=n+1, então n=k-1 e a soma fica
f(x)=\sum_{k=1}^{\infty}(-4)^{\,k-1}x^{k}.
(Isto é uma série de potências centrada em 0 com coeficientes a_k = (-4)^{\,k-1} para k\ge1 e a_0=0.)

Passo 6

Escrevemos também os primeiros termos para ver a forma explícita:
f(x)=x-4x^{2}+16x^{3}-64x^{4}+\cdots = \sum_{k=1}^{\infty}(-4)^{\,k-1}x^{k}.
Isso facilita aplicar a série na prova: basta conhecer que cada termo é (-4)^{k-1}x^{k}.

Passo 7

Determinando o intervalo de convergência: da condição obtida no Passo 4 temos a convergência para
|x|<\frac{1}{4},
ou seja, no intervalo aberto \left(-\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{4}\right).
Devemos verificar os extremos x=\pm\dfrac{1}{4}.
  • Para x=\dfrac{1}{4} cada termo da série \sum_{k=1}^{\infty}(-4)^{k-1}x^{k} vale
(-4)^{k-1}\left(\frac{1}{4}\right)^{k}=(-1)^{k-1}\frac{1}{4},
cujo módulo não tende a zero (os termos são \pm\tfrac{1}{4}). Assim a série diverge em x=\dfrac{1}{4}.
  • Para x=-\dfrac{1}{4} cada termo vale
(-4)^{k-1}\left(-\frac{1}{4}\right)^{k}=-\frac{1}{4},
novamente termos constantes em módulo e não tendendo a zero, logo a série diverge em x=-\dfrac{1}{4}.
Portanto os extremos não pertencem ao intervalo de convergência.

Passo 8

Resumo prático (como lembrar na prova): escrever f(x)=x/(1+4x)=x/(1-(-4x)), usar a série geométrica \sum_{n=0}^\infty r^n com r=-4x, multiplicar por x e reindexar. A condição |-4x|<1 dá raio de convergência R=\tfrac{1}{4} e o intervalo aberto \left(-\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{4}\right); os pontos finais divergem porque os termos não tendem a zero.

Resposta

\displaystyle f(x)=\sum_{k=1}^{\infty}(-4)^{\,k-1}x^{k}=x-4x^{2}+16x^{3}-64x^{4}+\cdots
Intervalo de convergência: \displaystyle \left(-\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{4}\right)

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