Determine a representação em série de potências das seguintes funções e identifique seu intervalo de convergência:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Determinar a representação em série de potências de
(assumiremos a expansão centrada em , i.e. série de Maclaurin). - Identificar o intervalo de convergência dessa série.
Informação dada:
- A função é
.
Passo 2
Primeiro vamos reescrever
de forma que possamos usar a série geométrica básica. Observe que
Agora escrevemos o denominador como
, isto é
Esta forma é útil porque conhecemos a expansão da série geométrica para
.
Passo 3
Lembrete importante (fórmula que vamos usar): para um número real (ou complexo)
com
, vale a série geométrica
Aqui
é a razão da progressão geométrica; a condição
garante convergência da soma infinita. Exemplo rápido: com
tem-se
.
Passo 4
Aplicando a fórmula com
(ou seja, substituindo
por
) obtemos, desde que
,
A condição de convergência aqui é
Passo 5
Multiplicamos a expansão acima por
para recuperar
:
É comum reindexar a soma para que o expoente de
seja
. Faça
, então
e a soma fica
(Isto é uma série de potências centrada em
com coeficientes
para
e
.)
Passo 6
Escrevemos também os primeiros termos para ver a forma explícita:
Isso facilita aplicar a série na prova: basta conhecer que cada termo é
.
Passo 7
Determinando o intervalo de convergência: da condição obtida no Passo 4 temos a convergência para
ou seja, no intervalo aberto
.
Devemos verificar os extremos
.
- Para
cada termo da série vale
cujo módulo não tende a zero (os termos são
). Assim a série diverge em
.
- Para
cada termo vale
novamente termos constantes em módulo e não tendendo a zero, logo a série diverge em
.
Portanto os extremos não pertencem ao intervalo de convergência.
Passo 8
Resumo prático (como lembrar na prova): escrever
, usar a série geométrica
com
, multiplicar por
e reindexar. A condição
dá raio de convergência
e o intervalo aberto
; os pontos finais divergem porque os termos não tendem a zero.
Resposta
Intervalo de convergência: