Questão 2 Seja f(x)=\left\{\begin{array}{ll}A & , x \in[0, a] \\\\ 0 & , x \in(a, L]\end{array}\right., onde: 0<a<L. Desenvolver f(x) em séries de cosenos.

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)=\begin{cases} A, & x\in[0,a],\\[4pt] 0, & x\in(a,L], \end{cases}
com 0<a<L, e pede: desenvolver f(x) em séries de cossenos (série de Fourier em cossenos no intervalo [0,L]).
Informações relevantes fornecidas:
  • f é constante igual a A no subintervalo [0,a] (peguei isso do enunciado).
  • f é zero em (a,L] (peguei isso do enunciado).
  • Os parâmetros a, L e A satisfazem 0<a<L (peguei isso do enunciado).
    A seguir vou construir passo a passo a série de cossenos e calcular todos os coeficientes.]

Passo 2

O que é uma série de cossenos no intervalo [0,L]\) e por que usamos cossenos? - A série de cossenos representa \(f(x)\) como combinação linear das funções \(\{1,\cos(\tfrac{n\pi x}{L})\}_{n\ge1}\), que formam um sistema ortogonal em \([0,L]\). - A forma geral é \[f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right).
Explicando os coeficientes (razão e origem):
  • A ortogonalidade das cossenos implica que, para inteiros m,n\ge1,
\int_{0}^{L}\cos\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\cos\!\left(\frac{m\pi x}{L}\right)\,dx= \begin{cases} 0, & n\ne m,\\[4pt] \frac{L}{2}, & n=m, \end{cases}
e também
\int_{0}^{L}1\cdot 1\,dx=L,\qquad \int_{0}^{L}1\cdot\cos\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx=0\quad(n\ge1).
  • Projetando f\] nessas bases obtém-se as fórmulas dos coeficientes: \[a_0=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\,dx, \qquad a_n=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\cos\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx\quad(n\ge1).\] A série é escrita com \(\tfrac{a_0}{2} por causa da normalização da componente constante.]

Passo 3

Calcular a_0. Usando a definição e a forma de f:
a_0=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\,dx=\frac{2}{L}\int_{0}^{a}A\,dx,
pois f(x)=A em [0,a] e 0 no resto. Avaliando a integral:
\int_{0}^{a}A\,dx = A\cdot a.
Logo
a_0=\frac{2}{L}\,A a=\frac{2A a}{L},
e a metade aparece na série como
\frac{a_0}{2}=\frac{A a}{L}.

Passo 4

Calcular a_n para n\ge1. Pela fórmula:
a_n=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\cos\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx =\frac{2}{L}\int_{0}^{a}A\cos\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx,
pois f(x)=0 em (a,L]. Tirando constantes:
a_n=\frac{2A}{L}\int_{0}^{a}\cos\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx.
Agora calculamos a integral. Colocando k=\dfrac{n\pi}{L} temos \int \cos(kx)\,dx=\dfrac{1}{k}\sin(kx). Portanto
\int_{0}^{a}\cos\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx =\left[\frac{L}{n\pi}\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\right]_{0}^{a} =\frac{L}{n\pi}\sin\!\left(\frac{n\pi a}{L}\right)-0.
Substituindo na expressão de a_n:
a_n=\frac{2A}{L}\cdot\frac{L}{n\pi}\sin\!\left(\frac{n\pi a}{L}\right) =\frac{2A}{n\pi}\sin\!\left(\frac{n\pi a}{L}\right).
Observação prática: se \sin\!\left(\tfrac{n\pi a}{L}\right)=0 para algum n (isto é, quando n a /L é inteiro), então a_n=0.

Passo 5

Escrever a série final e comentar convergência rápida e valores nos pontos de descontinuidade. Com as fórmulas obtidas,
f(x)\sim \frac{A a}{L}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2A}{n\pi}\sin\!\left(\frac{n\pi a}{L}\right) \cos\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right).
Sobre convergência (útil para prova): esse desenvolvimento converge para f(x) em todo ponto de continuidade de f em (0,L). No ponto de descontinuidade x=a (onde a função salta de A para 0) a série converge para a média dos limites laterais, isto é, para \dfrac{A+0}{2}=\dfrac{A}{2}. Em x=0 a série converge para a média dos limites laterais considerando a extensão par conforme a construção; para aplicações de prova geralmente bastam as fórmulas dos coeficientes acima.

Resposta

f(x)=\frac{A a}{L}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2A}{n\pi}\sin\!\left(\frac{n\pi a}{L}\right) \cos\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right).

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