Questão 2 Seja f(x)=\left\{\begin{array}{ll}A & , x \in[0, a] \\\\ 0 & , x \in(a, L]\end{array}\right., onde: 0<a<L. Desenvolver f(x) em séries de cosenos.
Passo 1
O enunciado dá a função por partes
f(x)=\begin{cases} A, & x\in[0,a],\\[4pt] 0, & x\in(a,L], \end{cases}
com 0<a<L, e pede: desenvolver f(x) em séries de cossenos (série de Fourier em cossenos no intervalo [0,L]).
Informações relevantes fornecidas:
f é constante igual a A no subintervalo [0,a] (peguei isso do enunciado).
f é zero em (a,L] (peguei isso do enunciado).
Os parâmetros a, L e A satisfazem 0<a<L (peguei isso do enunciado).
A seguir vou construir passo a passo a série de cossenos e calcular todos os coeficientes.]
Passo 2
O que é uma série de cossenos no intervalo [0,L]\) e por que usamos cossenos?
- A série de cossenos representa \(f(x)\) como combinação linear das funções \(\{1,\cos(\tfrac{n\pi x}{L})\}_{n\ge1}\), que formam um sistema ortogonal em \([0,L]\).
- A forma geral é
\[f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right).
Explicando os coeficientes (razão e origem):
A ortogonalidade das cossenos implica que, para inteiros m,n\ge1,
Projetando f\] nessas bases obtém-se as fórmulas dos coeficientes:
\[a_0=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\,dx, \qquad a_n=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\cos\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx\quad(n\ge1).\]
A série é escrita com \(\tfrac{a_0}{2} por causa da normalização da componente constante.]
Sobre convergência (útil para prova): esse desenvolvimento converge para f(x) em todo ponto de continuidade de f em (0,L). No ponto de descontinuidade x=a (onde a função salta de A para 0) a série converge para a média dos limites laterais, isto é, para \dfrac{A+0}{2}=\dfrac{A}{2}. Em x=0 a série converge para a média dos limites laterais considerando a extensão par conforme a construção; para aplicações de prova geralmente bastam as fórmulas dos coeficientes acima.